Упр.745 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) x(x+1)(x+2)(x+3)=24; 2) x^3+(x+1)^3+(x+2)^3=(x=3)^3.

1. $$x(x+1)(x+2)(x+3)=24$$

   Сгруппируем множители:

   $$x(x+3)(x+1)(x+2)=24$$

   $$\bigl(x^2+3x\bigr)\bigl(x^2+3x+2\bigr)=24$$

   Пусть $$y=x^2+3x$$, тогда получаем:

   $$y(y+2)=24$$

   $$y^2+2y-24=0$$

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-24)=4+96=100$$

   $$y_{1,2}=\frac{-2\pm 10}{2}$$

   $$y_1=-6,\quad y_2=4$$

   1) Если $$x^2+3x=-6$$, то

   $$x^2+3x+6=0$$

   $$D=3^2-4\cdot 1\cdot 6=9-24=-15$$

   Действительных корней нет.

   2) Если $$x^2+3x=4$$, то

   $$x^2+3x-4=0$$

   $$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25$$

   $$x_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2}$$

   $$x_1=-4,\quad x_2=1$$

2. $$x^3+(x+1)^3+(x+2)^3=(x+3)^3$$

   Раскроем скобки:

   $$x^3+\bigl(x^3+3x^2+3x+1\bigr)+\bigl(x^3+6x^2+12x+8\bigr)=x^3+9x^2+27x+27$$

   $$3x^3+9x^2+15x+9=x^3+9x^2+27x+27$$

   $$2x^3-12x-18=0$$

   $$x^3-6x-9=0$$

   Проверим корень $$x=3$$:

   $$3^3-6\cdot 3-9=27-18-9=0$$

   Значит, $$x-3$$ — множитель:

   $$x^3-6x-9=(x-3)(x^2+3x+3)$$

   Тогда

   $$ (x-3)(x^2+3x+3)=0 $$

   $$x-3=0 \quad \text{или} \quad x^2+3x+3=0$$

   Для квадратного уравнения:

   $$D=3^2-4\cdot 1\cdot 3=9-12=-3$$

   Действительных корней нет, поэтому

   $$x=3$$

Ответ

1) $$-4,\ 1$$; 2) $$3$$.