Упр.744 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Задача

1) (x^2)/3+48/x^2=10(x/3-4/x);
2) 6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0;
3) v(x-2+v(2x-5))+v(x+2+3v(2x-5))=7v2;
4) 2v(x^2-2x+4)-v(x^2-2x+9)=1.

Подробный ответ

$$\frac{x^2}{3}+\frac{48}{x^2}=10\left(\frac{x}{3}-\frac{4}{x}\right)$$
Умножим на $$3x^2$$:
$$x^4+144=10x^3-120x$$
$$x^4-10x^3+120x+144=0$$
Сделаем замену $$y=\frac{x}{3}-\frac{4}{x}$$. Тогда
$$3y^2+8=10y$$
$$3y^2-10y+8=0$$
$$D=100-96=4$$
$$y_1=\frac{10-2}{6}=\frac{4}{3}, \qquad y_2=\frac{10+2}{6}=2$$
1) $$\frac{x}{3}-\frac{4}{x}=\frac{4}{3}$$
$$x^2-4x-12=0$$
$$D=16+48=64$$
$$x_1=\frac{4-8}{2}=-2, \qquad x_2=\frac{4+8}{2}=6$$
2) $$\frac{x}{3}-\frac{4}{x}=2$$
$$x^2-6x-12=0$$
$$D=36+48=84$$
$$x=\frac{6\pm\sqrt{84}}{2}=3\pm\sqrt{21}$$
$$6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0$$
Разделим на $$x^2$$:
$$6x^2-35x+62-\frac{35}{x}+\frac{6}{x^2}=0$$
$$6\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-35\left(x+\frac{1}{x}\right)+50=0$$
Пусть $$y=x+\frac{1}{x}$$. Тогда
$$6y^2-35y+50=0$$
$$D=1225-1200=25$$
$$y_1=\frac{35-5}{12}=\frac{5}{2}, \qquad y_2=\frac{35+5}{12}=\frac{10}{3}$$
1) $$x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$$
$$2x^2-5x+2=0$$
$$D=25-16=9$$
$$x_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}, \qquad x_2=\frac{5+3}{4}=2$$
2) $$x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3}$$
$$3x^2-10x+3=0$$
$$D=100-36=64$$
$$x_1=\frac{10-8}{6}=\frac{1}{3}, \qquad x_2=\frac{10+8}{6}=3$$
$$\sqrt{x-2+\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}=7\sqrt{2}$$
Пусть $$y=\sqrt{2x-5}$$. Тогда
$$2x=y^2+5, \qquad x=\frac{y^2+5}{2}$$
Подставим:
$$\sqrt{\frac{y^2+5}{2}-2+y}+\sqrt{\frac{y^2+5}{2}+2+3y}=7\sqrt{2}$$
$$\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{y^2+2y+1}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{y^2+6y+9}=7\sqrt{2}$$
$$\frac{1}{\sqrt{2}}(y+1)+\frac{1}{\sqrt{2}}(y+3)=7\sqrt{2}$$
$$2y+4=14$$
$$y=5$$
$$x=\frac{5^2+5}{2}=15$$
$$2\sqrt{x^2-2x+4}-\sqrt{x^2-2x+9}=1$$
Пусть $$y=x^2-2x+4$$. Тогда
$$2\sqrt{y}-\sqrt{y+5}=1$$
$$2\sqrt{y}=1+\sqrt{y+5}$$
Возведём в квадрат:
$$4y=1+2\sqrt{y+5}+y+5$$
$$3y-6=2\sqrt{y+5}$$
Снова возведём в квадрат:
$$9y^2-36y+36=4(y+5)$$
$$9y^2-40y+16=0$$
$$D=1600-576=1024$$
$$y_1=\frac{40-32}{18}=\frac{4}{9}, \qquad y_2=\frac{40+32}{18}=4$$
Так как $$3y-6\ge 0$$, то $$y\ge 2$$, значит подходит только $$y=4$$.
$$x^2-2x+4=4$$
$$x^2-2x=0$$
$$x(x-2)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=2$$