Упр.742 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) ((x-b)(x-c))/((a-b)(a-c))+((x-c)(x-a))/((b-c)(b-a))+((x-a)(x-b))/((c-a)(c-b))=1;
2) a^2((x-b)(x-c))/((a-b)(a-c))+b^2((x-c)(x-a))/((b-c)(b-a))+c^2((x-a)(x-b))/((c-a)(c-b))=x^2;

Обозначим

$$d=(a-b)(a-c)(b-c).$$

Тогда

$$ \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} $$

после умножения на $$d$$ превращается в сумму

$$ (x-b)(x-c)(b-c)-(x-c)(x-a)(a-c)+(x-a)(x-b)(a-b). $$

Раскроем скобки:

$$ (x-b)(x-c)(b-c)=b^2c-b^2x-bc^2+bx^2+c^2x-cx^2, $$

$$ -(x-c)(x-a)(a-c)=a^2x-a^2c+ac^2-ax^2-c^2x+cx^2, $$

$$ (x-a)(x-b)(a-b)=a^2b-a b^2-a^2x+abx+b^2x-bx^2. $$

Складывая, получаем

$$ d\cdot S=a^2b-a^2c-ab^2+ac^2+b^2c-bc^2=d, $$

где

$$ S=\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}. $$

Значит, $$S=1$$.

Аналогично для второго равенства, умножим левую часть на $$d$$:

$$ a^2(x-b)(x-c)(b-c)-b^2(x-c)(x-a)(a-c)+c^2(x-a)(x-b)(a-b). $$

После раскрытия скобок и приведения подобных членов все слагаемые, не содержащие $$x^2$$, сокращаются, а коэффициент при $$x^2$$ равен $$d$$. Поэтому

$$ d\cdot S_2=x^2d, $$

где

$$ S_2=a^2\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b^2\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+c^2\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}. $$

Следовательно, $$S_2=x^2$$.

Ответ

$$ \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}=1, $$
$$ a^2\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b^2\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+c^2\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}=x^2. $$