Упр.742 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Доказать, что если $$a$$, $$b$$, $$c$$ — попарно различные числа, то при любых значениях $$x$$ выполняется равенство:
   
   1) $$\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}=1$$;
   
   2) $$a^2\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b^2\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+c^2\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}=x^2$$.

Обозначим

$$d=(a-b)(a-c)(b-c).$$

Тогда

$$\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}$$

после умножения на $$d$$ превращается в сумму

$$(x-b)(x-c)(b-c)-(x-c)(x-a)(a-c)+(x-a)(x-b)(a-b).$$

Раскроем скобки:

$$(x-b)(x-c)(b-c)=b^2c-b^2x-bc^2+bx^2+c^2x-cx^2,$$

$$-(x-c)(x-a)(a-c)=a^2x-a^2c+ac^2-ax^2-c^2x+cx^2,$$

$$(x-a)(x-b)(a-b)=a^2b-a b^2-a^2x+abx+b^2x-bx^2.$$

Складывая, получаем

$$d\cdot S=a^2b-a^2c-ab^2+ac^2+b^2c-bc^2=d,$$

где

$$S=\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}.$$

Значит, $$S=1$$.

Аналогично для второго равенства, умножим левую часть на $$d$$:

$$a^2(x-b)(x-c)(b-c)-b^2(x-c)(x-a)(a-c)+c^2(x-a)(x-b)(a-b).$$

После раскрытия скобок и приведения подобных членов все слагаемые, не содержащие $$x^2$$, сокращаются, а коэффициент при $$x^2$$ равен $$d$$. Поэтому

$$d\cdot S_2=x^2d,$$

где

$$S_2=a^2\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b^2\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+c^2\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}.$$

Следовательно, $$S_2=x^2$$.

Ответ

$$\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}=1,$$
$$a^2\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b^2\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+c^2\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}=x^2.$$