Упр.741 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) 1/(1·2)+1/(2·3)+1/(3·4)+…+1/(n(n+1))=1-1/(n+1);
2) 1/(1·2·3)+1/(2·3·4)+1/(3·4·5)+…+1/(n(n+1)(n+2))=(1/2)(1/2-1/((n+1)(n+2))).

1) Обозначим

$$S_n=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}.$$

Проверим, что

$$S_n=1-\frac{1}{n+1}.$$

Действительно, при $$n=1$$ имеем

$$1-\frac{1}{1+1}=1-\frac12=\frac12=\frac{1}{1\cdot 2}.$$

Найдём разность:

$$ S_n-S_{n-1}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)-\left(1-\frac{1}{n}\right) =\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} =\frac{n+1-n}{n(n+1)} =\frac{1}{n(n+1)}. $$

Это и есть новое слагаемое суммы. Следовательно, равенство верно.

2) Обозначим

$$T_n=\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}.$$

Тогда нужно доказать, что

$$T_n=\frac12\left(\frac12-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right).$$

Проверим при $$n=1$$:

$$ \frac12\left(\frac12-\frac{1}{(1+1)(1+2)}\right) =\frac12\left(\frac12-\frac16\right) =\frac12\cdot\frac13 =\frac16 =\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}. $$

Найдём разность:

$$ T_n-T_{n-1} =\frac12\left(\frac12-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) -\frac12\left(\frac12-\frac{1}{n(n+1)}\right). $$

Тогда

$$ T_n-T_{n-1} =\frac12\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) =\frac12\cdot\frac{n+2-n}{n(n+1)(n+2)} =\frac{1}{n(n+1)(n+2)}. $$

Это совпадает с новым слагаемым суммы, значит, равенство доказано.

Ответ

1) $$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{n+1}.$$

2) $$\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac12\left(\frac12-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right).$$