Упр.741 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Доказать равенство:

1. $$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{n+1}$$;
2. $$\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot4\cdot5}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)$$.

1) Обозначим

$$S_n=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}.$$

Проверим, что

$$S_n=1-\frac{1}{n+1}.$$

Действительно, при $$n=1$$ имеем

$$1-\frac{1}{1+1}=1-\frac12=\frac12=\frac{1}{1\cdot 2}.$$

Найдём разность:

$$S_n-S_{n-1}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)-\left(1-\frac{1}{n}\right) =\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} =\frac{n+1-n}{n(n+1)} =\frac{1}{n(n+1)}.$$

Это и есть новое слагаемое суммы. Следовательно, равенство верно.

2) Обозначим

$$T_n=\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}.$$

Тогда нужно доказать, что

$$T_n=\frac12\left(\frac12-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right).$$

Проверим при $$n=1$$:

$$\frac12\left(\frac12-\frac{1}{(1+1)(1+2)}\right) =\frac12\left(\frac12-\frac16\right) =\frac12\cdot\frac13 =\frac16 =\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}.$$

Найдём разность:

$$T_n-T_{n-1} =\frac12\left(\frac12-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) -\frac12\left(\frac12-\frac{1}{n(n+1)}\right).$$

Тогда

$$T_n-T_{n-1} =\frac12\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) =\frac12\cdot\frac{n+2-n}{n(n+1)(n+2)} =\frac{1}{n(n+1)(n+2)}.$$

Это совпадает с новым слагаемым суммы, значит, равенство доказано.

Ответ

1) $$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{n+1}.$$

2) $$\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac12\left(\frac12-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right).$$