Упр.739 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 739. Пусть m, n, p, q — натуральные числа, и пусть значение многочлена mx^3+nx^2+px+q при любом целом х есть число, делящееся на 5. Доказать, что каждое из чисел m, n, p, q делится на 5.

Обозначим

$$f(x)=mx^3+nx^2+px+q.$$

По условию при любом целом $$x$$ значение $$f(x)$$ делится на $$5$$.

Подставим $$x=0$$:

$$f(0)=q,$$

значит, $$q$$ делится на $$5$$.

Рассмотрим разность:

$$f(x)-q=mx^3+nx^2+px=x(mx^2+nx+p).$$

Так как и $$f(x)$$, и $$q$$ делятся на $$5$$, то и $$x(mx^2+nx+p)$$ делится на $$5$$ при любом целом $$x$$. Возьмём $$x=1$$:

$$m+n+p$$ делится на $$5$$.

Теперь подставим $$x=0$$ в многочлен

$$mx^2+nx+p,$$

получим $$p$$, значит, $$p$$ делится на $$5$$.

Тогда из делимости $$m+n+p$$ на $$5$$ следует, что $$m+n$$ делится на $$5$$.

Рассмотрим многочлен

$$mx^2+nx=x(mx+n).$$

При $$x=0$$ получаем $$0$$, а при $$x=1$$ имеем $$m+n$$, которое делится на $$5$$. Значит, $$n$$ делится на $$5$$, а тогда и $$m$$ делится на $$5$$.

Итак, каждое из чисел $$m,n,p,q$$ делится на $$5$$.

Ответ

$$m,\ n,\ p,\ q$$ делятся на $$5$$.