Упр.738 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 738. Найти четыре последовательных натуральных числа, произведение которых равно 5040.

Пусть первое из четырёх последовательных натуральных чисел равно $$n$$. Тогда остальные числа: $$n+1$$, $$n+2$$ и $$n+3$$.

По условию:

$$n(n+1)(n+2)(n+3)=5040.$$

Сгруппируем множители:

$$n(n+3)(n+1)(n+2)=5040,$$

$$\bigl(n^2+3n\bigr)\bigl(n^2+3n+2\bigr)=5040.$$

Обозначим $$y=n^2+3n$$. Тогда получаем:

$$y(y+2)=5040,$$

$$y^2+2y-5040=0.$$

Найдём корни:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-5040)=4+20160=20164,$$

$$\sqrt{D}=142.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 142}{2},$$

откуда

$$y_1=-72,\qquad y_2=70.$$

Рассмотрим уравнение $$n^2+3n=-72$$:

$$n^2+3n+72=0.$$

Его дискриминант:

$$D=3^2-4\cdot 72=9-288=-279<0,$$

значит, натуральных решений нет.

Теперь рассмотрим уравнение $$n^2+3n=70$$:

$$n^2+3n-70=0.$$

Тогда

$$D=3^2+4\cdot 70=9+280=289,$$

$$\sqrt{D}=17.$$

Следовательно,

$$n=\frac{-3\pm 17}{2}.$$

Получаем $$n=7$$ или $$n=-10$$. Так как число натуральное, берём $$n=7$$.

Тогда искомые числа:

$$7,\ 8,\ 9,\ 10.$$

Ответ

$$7,\ 8,\ 9,\ 10.$$