Упр.737 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 737. Найти все пары целых чисел x, y, удовлетворяющих уравнению x^2=y^2+2y+13.

Преобразуем уравнение:

$$x^2=y^2+2y+13$$

$$x^2=(y+1)^2+12$$

$$x^2-(y+1)^2=12$$

Разность квадратов:

$$\bigl(x-y-1\bigr)\bigl(x+y+1\bigr)=12$$

Обозначим:

$$x-y-1=a,\qquad x+y+1=b$$

Тогда

$$ab=12$$

и

$$2x=a+b,\qquad 2y=b-a-2$$

Переберем целые пары множителей числа 12:

$$a=1,\ b=12 \Rightarrow x=\frac{13}{2}$$

не подходит.

Удобнее сразу взять пары одинаковой четности:

$$a=-6,\ b=-2$$

$$2x=-8,\quad 2y=2 \Rightarrow x=-4,\ y=1$$

$$a=6,\ b=2$$

$$2x=8,\quad 2y=-6 \Rightarrow x=4,\ y=-3$$

$$a=-2,\ b=-6$$

$$2x=-8,\quad 2y=-6 \Rightarrow x=-4,\ y=-3$$

$$a=2,\ b=6$$

$$2x=8,\quad 2y=2 \Rightarrow x=4,\ y=1$$

Ответ

$$( -4;\ 1),\ (4;\ -3),\ (-4;\ -3),\ (4;\ 1)$$