Упр.736 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Найти все натуральные числа $$n$$, при которых число $$n^4+n^2+1$$ является простым.

Разложим число на множители:

$$n^4+n^2+1=(n^2+1)^2-n^2=(n^2+1-n)(n^2+1+n).$$

Получили произведение двух натуральных чисел. Чтобы это число было простым, один из множителей должен равняться $$1$$.

Рассмотрим меньший множитель:

$$n^2+1-n=1,$$

$$n^2-n=0,$$

$$n(n-1)=0.$$

Так как $$n$$ — натуральное число, получаем $$n=1$$.

Проверка:

$$1^4+1^2+1=3,$$

число $$3$$ — простое.

Ответ

$$1$$