Упр.734 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) m(m+1)=n(n+2); 2) m^2+(m+1)^2=n^4+(n+1)^4.

1. Предположим, что для некоторых натуральных $$m$$ и $$n$$ верно равенство

   $$m(m+1)=n(n+2).$$

   Тогда

   $$\frac{m}{n}=\frac{n+2}{m+1}.$$

   Если $$m\le n$$, то

   $$\frac{m}{n}\le 1<\frac{n+2}{m+1},$$

   а если $$m>n$$, то

   $$\frac{n+2}{m+1}\le 1<\frac{m}{n}.$$

   В обоих случаях левая и правая части не могут быть равны, значит, равенство невозможно.

2. Пусть

   $$m^2+(m+1)^2=n^4+(n+1)^4.$$

   Тогда

   $$m^2+m^2+2m+1=n^4+(n+1)^4,$$

   $$2m(m+1)=(n+1)^4+n^4-1,$$

   $$m(m+1)=\frac{(n+1)^4+n^4-1}{2}.$$

   Используем тождество

   $$n^4+(n+1)^4-1=2n(n+1)\bigl(n(n+1)+2\bigr).$$

   Тогда

   $$m(m+1)=n(n+1)\bigl(n(n+1)+2\bigr).$$

   Обозначим $$y=n(n+1)$$. Тогда

   $$m(m+1)=y(y+2).$$

   Следовательно,

   $$\frac{m}{y}=\frac{y+2}{m+1}.$$

   Если $$m\le y$$, то

   $$\frac{m}{y}\le 1<\frac{y+2}{m+1},$$

   а если $$m>y$$, то

   $$\frac{y+2}{m+1}\le 1<\frac{m}{y}.$$

   И в этом случае равенство невозможно.

Ответ

Оба равенства не могут быть верными ни при каких натуральных $$m$$ и $$n$$.