Упр.733 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 733. Доказать, что дробь ((n+1)^4+n^4-1)/2, где n — натуральное число, можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, разность которых равна двум.

Преобразуем данную дробь:

$$ \frac{(n+1)^4+n^4-1}{2} = \frac{(n^2+2n+1)^2+n^4-1}{2} $$

$$ = \frac{n^4+4n^3+6n^2+4n+1+n^4-1}{2} = \frac{2n^4+4n^3+6n^2+4n}{2} $$

$$ = n^4+2n^3+3n^2+2n $$

$$ = n^3(n+1)+n^2(n+1)+2n(n+1) $$

$$ = (n+1)(n^3+n^2+2n) = (n+1)(n^2+n)(n+2) $$

$$ = (n^2+n)(n^2+n+2). $$

Следовательно, данная дробь представляется в виде произведения двух натуральных чисел $$n^2+n$$ и $$n^2+n+2$$, разность которых равна двум:

$$ (n^2+n+2)-(n^2+n)=2. $$

Ответ

$$ \frac{(n+1)^4+n^4-1}{2}=(n^2+n)(n^2+n+2), $$
то есть это произведение двух натуральных чисел, разность которых равна $$2$$.