Упр.732 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 732. Доказать, что для любых целых чисел m и n число m^6 n^2-n^6 m^2 делится на 30.

Подробный ответ

Пусть $$m$$ и $$n$$ — произвольные целые числа. Преобразуем выражение:

$$ m^6n^2-n^6m^2=m^2n^2(m^4-n^4)=m^2n^2(m^2-n^2)(m^2+n^2) $$

Далее разложим разность квадратов:

$$ m^2n^2(m^2-n^2)(m^2+n^2)=m^2n^2(m-n)(m+n)(m^2+n^2) $$

Докажем делимость на $$2$$, $$3$$ и $$5$$.

1) На $$2$$ делится либо одно из чисел $$m$$ и $$n$$, либо одно из чисел $$m-n$$ и $$m+n$$. Значит, произведение делится на $$2$$.

2) На $$3$$ делится либо одно из чисел $$m$$ и $$n$$, либо число $$m^2-n^2$$, так как при делении на $$3$$ квадраты целых чисел дают остаток только $$0$$ или $$1$$. Если $$m^2 \equiv n^2 \equiv 1 \pmod 3$$, то $$m^2-n^2 \equiv 0 \pmod 3$$. Следовательно, произведение делится на $$3$$.

3) На $$5$$ делится либо одно из чисел $$m$$ и $$n$$, либо число $$m^4-n^4$$, а значит и выражение $$m^2n^2(m^4-n^4)$$ делится на $$5$$.

Так как число делится на $$2$$, $$3$$ и $$5$$, а $$2$$, $$3$$ и $$5$$ взаимно просты, то оно делится на $$30$$.