Упр.731 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 731. Доказать, что если натуральные числа m и n не делятся на 5, то число m^4-n^4 делится на 5.

Так как натуральные числа $$m$$ и $$n$$ не делятся на $$5$$, то их остатки при делении на $$5$$ могут быть только такими:

$$m=5k+1,\; 5k+2,\; 5k+3,\; 5k+4,$$

$$n=5t+1,\; 5t+2,\; 5t+3,\; 5t+4.$$

Рассмотрим остатки четвёртых степеней по модулю $$5$$:

$$ (5k+1)^4 \equiv 1^4 \equiv 1 \pmod{5},\\ (5k+2)^4 \equiv 2^4=16 \equiv 1 \pmod{5},\\ (5k+3)^4 \equiv 3^4=81 \equiv 1 \pmod{5},\\ (5k+4)^4 \equiv 4^4=256 \equiv 1 \pmod{5}. $$

Значит, для любого числа, не кратного $$5$$, выполняется

$$m^4 \equiv 1 \pmod{5}, \qquad n^4 \equiv 1 \pmod{5}.$$

Тогда

$$m^4-n^4 \equiv 1-1 \equiv 0 \pmod{5}.$$

Следовательно, число $$m^4-n^4$$ делится на $$5$$.

Ответ

$$m^4-n^4$$ делится на $$5$$.