Упр.730 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 730. Если m, n, k — натуральные числа и число m+n+k делится на 6, то число m^3+n^3+k^3 также делится на 6. Доказать.

Пусть $$m,n,k$$ — натуральные числа и $$m+n+k$$ делится на $$6$$. Тогда, в частности, число $$m+n+k$$ делится на $$3$$ и на $$2$$.

Рассмотрим выражение:

$$ m^3+n^3+k^3=(m^3-m)+(n^3-n)+(k^3-k)+(m+n+k). $$

Преобразуем его:

$$ m^3+n^3+k^3=m(m^2-1)+n(n^2-1)+k(k^2-1)+(m+n+k) $$

$$ =(m-1)m(m+1)+(n-1)n(n+1)+(k-1)k(k+1)+(m+n+k). $$

Произведение трёх последовательных натуральных чисел делится на $$6$$, значит каждое из чисел

$$ (m-1)m(m+1),\quad (n-1)n(n+1),\quad (k-1)k(k+1) $$

делится на $$6$$. Следовательно, их сумма тоже делится на $$6$$. Кроме того, по условию $$m+n+k$$ делится на $$6$$.

Значит, и число

$$ m^3+n^3+k^3 $$

делится на $$6$$.

Ответ

$$m^3+n^3+k^3$$ делится на $$6$$.