Упр.730 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Если $$m$$, $$n$$, $$k$$ — натуральные числа и число $$m+n+k$$ делится на 6, то число $$m^3+n^3+k^3$$ также делится на 6. Доказать.

Пусть $$m,n,k$$ — натуральные числа и $$m+n+k$$ делится на $$6$$. Тогда, в частности, число $$m+n+k$$ делится на $$3$$ и на $$2$$.

Рассмотрим выражение:

$$m^3+n^3+k^3=(m^3-m)+(n^3-n)+(k^3-k)+(m+n+k).$$

Преобразуем его:

$$m^3+n^3+k^3=m(m^2-1)+n(n^2-1)+k(k^2-1)+(m+n+k)$$

$$=(m-1)m(m+1)+(n-1)n(n+1)+(k-1)k(k+1)+(m+n+k).$$

Произведение трёх последовательных натуральных чисел делится на $$6$$, значит каждое из чисел

$$(m-1)m(m+1),\quad (n-1)n(n+1),\quad (k-1)k(k+1)$$

делится на $$6$$. Следовательно, их сумма тоже делится на $$6$$. Кроме того, по условию $$m+n+k$$ делится на $$6$$.

Значит, и число

$$m^3+n^3+k^3$$

делится на $$6$$.

Ответ

$$m^3+n^3+k^3$$ делится на $$6$$.