Упр.73 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) a^(3/2)/(va+vb)-ab^(1/2)/(vb-va)-(2a^2-4ab)/(a-b);
2) 1/(a^(1/3)+b^(1/3))-(a^(1/3)+b^(1/3))/(a^(2/3)-(ab)^(1/3)+b^(2/3));
3) (3xy-y^2)/(x-y)-yvy/(vx-vy)-yvx/(vx+vy);
4) ((a^2)^(1/3)-(b^2)^(1/3))/(a^(1/3)-b^(1/3))-(a-b)/(a^(2/3)+(ab)^(1/3)+b^(2/3)).

1. $$\frac{a^{3/2}}{\sqrt a+\sqrt b}-\frac{ab^{1/2}}{\sqrt b-\sqrt a}-\frac{2a^2-4ab}{a-b}$$

   Приведём первые две дроби к общему знаменателю:
   $$\frac{a^{3/2}}{\sqrt a+\sqrt b}=\frac{a^{3/2}(\sqrt a-\sqrt b)}{a-b}, \qquad \frac{ab^{1/2}}{\sqrt b-\sqrt a}=-\frac{ab^{1/2}(\sqrt a+\sqrt b)}{a-b}.$$

   Тогда
   $$ \frac{a^{3/2}(\sqrt a-\sqrt b)+ab^{1/2}(\sqrt a+\sqrt b)-(2a^2-4ab)}{a-b}. $$

   Раскроем скобки:
   $$ a^2-a^{3/2}b^{1/2}+a^{3/2}b^{1/2}+ab-2a^2+4ab=5ab-a^2. $$

   Значит,
   $$\frac{5ab-a^2}{a-b}=\frac{a(5b-a)}{a-b}.$$

2. $$\frac{1}{a^{1/3}+b^{1/3}}-\frac{a^{1/3}+b^{1/3}}{a^{2/3}-(ab)^{1/3}+b^{2/3}}$$

   Обозначим $$x=a^{1/3}, \quad y=b^{1/3}.$$ Тогда выражение имеет вид
   $$ \frac{1}{x+y}-\frac{x+y}{x^2-xy+y^2}. $$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{x^2-xy+y^2-(x+y)^2}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}. $$

   Числитель:
   $$ x^2-xy+y^2-(x^2+2xy+y^2)=-3xy. $$

   Тогда
   $$ \frac{-3xy}{x^3+y^3}=\frac{-3a^{1/3}b^{1/3}}{a+b}=-\frac{3\sqrt[3]{ab}}{a+b}. $$

3. $$\frac{3xy-y^2}{x-y}-\frac{y\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}-\frac{y\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt y}$$

   Приведём вторую и третью дроби к знаменателю $$x-y$$:
   $$ \frac{y\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}=\frac{y\sqrt y(\sqrt x+\sqrt y)}{x-y}, \qquad \frac{y\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt y}=\frac{y\sqrt x(\sqrt x-\sqrt y)}{x-y}. $$

   Тогда
   $$ \frac{3xy-y^2-y\sqrt y(\sqrt x+\sqrt y)-y\sqrt x(\sqrt x-\sqrt y)}{x-y}. $$

   Раскроем скобки:
   $$ 3xy-y^2-y\sqrt{xy}-y^2-yx+y\sqrt{xy}=2xy-2y^2. $$

   Получаем
   $$ \frac{2xy-2y^2}{x-y}=\frac{2y(x-y)}{x-y}=2y. $$

4. $$\frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a-b}{a^{2/3}+\sqrt[3]{ab}+b^{2/3}}$$

   Используем формулу
   $$ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2). $$
   Тогда
   $$ a-b=(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})\left(a^{2/3}+\sqrt[3]{ab}+b^{2/3}\right). $$

   Следовательно,
   $$ \frac{a-b}{a^{2/3}+\sqrt[3]{ab}+b^{2/3}}=\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}. $$

   А первая дробь:
   $$ \frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} =\frac{(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} =\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}. $$

   Тогда всё выражение равно
   $$ \left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)-\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)=2\sqrt[3]{b}. $$

Ответ

1) $$\frac{a(5b-a)}{a-b}$$;
2) $$-\frac{3\sqrt[3]{ab}}{a+b}$$;
3) $$2y$$;
4) $$2\sqrt[3]{b}$$.