Упр.73 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Упростить выражение:

1. 1) $$\frac{a^{3/2}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{ab^{1/2}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}-\frac{2a^2-4ab}{a-b}$$;
   2) $$\frac{1}{a^{1/3}+b^{1/3}}-\frac{a^{1/3}+b^{1/3}}{a^{2/3}-(ab)^{1/3}+b^{2/3}}$$;
   3) $$\frac{3xy-y^2}{x-y}-\frac{y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{y\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$$;
   4) $$\frac{(a^2)^{1/3}-(b^2)^{1/3}}{a^{1/3}-b^{1/3}}-\frac{a-b}{a^{2/3}+(ab)^{1/3}+b^{2/3}}$$.

1. $$\frac{a^{3/2}}{\sqrt a+\sqrt b}-\frac{ab^{1/2}}{\sqrt b-\sqrt a}-\frac{2a^2-4ab}{a-b}$$

   Приведём первые две дроби к общему знаменателю:
   $$\frac{a^{3/2}}{\sqrt a+\sqrt b}=\frac{a^{3/2}(\sqrt a-\sqrt b)}{a-b}, \qquad \frac{ab^{1/2}}{\sqrt b-\sqrt a}=-\frac{ab^{1/2}(\sqrt a+\sqrt b)}{a-b}.$$

   Тогда
   $$\frac{a^{3/2}(\sqrt a-\sqrt b)+ab^{1/2}(\sqrt a+\sqrt b)-(2a^2-4ab)}{a-b}.$$

   Раскроем скобки:
   $$a^2-a^{3/2}b^{1/2}+a^{3/2}b^{1/2}+ab-2a^2+4ab=5ab-a^2.$$

   Значит,
   $$\frac{5ab-a^2}{a-b}=\frac{a(5b-a)}{a-b}.$$

2. $$\frac{1}{a^{1/3}+b^{1/3}}-\frac{a^{1/3}+b^{1/3}}{a^{2/3}-(ab)^{1/3}+b^{2/3}}$$

   Обозначим $$x=a^{1/3}, \quad y=b^{1/3}.$$ Тогда выражение имеет вид
   $$\frac{1}{x+y}-\frac{x+y}{x^2-xy+y^2}.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{x^2-xy+y^2-(x+y)^2}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}.$$

   Числитель:
   $$x^2-xy+y^2-(x^2+2xy+y^2)=-3xy.$$

   Тогда
   $$\frac{-3xy}{x^3+y^3}=\frac{-3a^{1/3}b^{1/3}}{a+b}=-\frac{3\sqrt[3]{ab}}{a+b}.$$

3. $$\frac{3xy-y^2}{x-y}-\frac{y\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}-\frac{y\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt y}$$

   Приведём вторую и третью дроби к знаменателю $$x-y$$:
   $$\frac{y\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}=\frac{y\sqrt y(\sqrt x+\sqrt y)}{x-y}, \qquad \frac{y\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt y}=\frac{y\sqrt x(\sqrt x-\sqrt y)}{x-y}.$$

   Тогда
   $$\frac{3xy-y^2-y\sqrt y(\sqrt x+\sqrt y)-y\sqrt x(\sqrt x-\sqrt y)}{x-y}.$$

   Раскроем скобки:
   $$3xy-y^2-y\sqrt{xy}-y^2-yx+y\sqrt{xy}=2xy-2y^2.$$

   Получаем
   $$\frac{2xy-2y^2}{x-y}=\frac{2y(x-y)}{x-y}=2y.$$

4. $$\frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a-b}{a^{2/3}+\sqrt[3]{ab}+b^{2/3}}$$

   Используем формулу
   $$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2).$$
   Тогда
   $$a-b=(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})\left(a^{2/3}+\sqrt[3]{ab}+b^{2/3}\right).$$

   Следовательно,
   $$\frac{a-b}{a^{2/3}+\sqrt[3]{ab}+b^{2/3}}=\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}.$$

   А первая дробь:
   $$\frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} =\frac{(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} =\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}.$$

   Тогда всё выражение равно
   $$\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)-\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)=2\sqrt[3]{b}.$$

Ответ

1) $$\frac{a(5b-a)}{a-b}$$;
2) $$-\frac{3\sqrt[3]{ab}}{a+b}$$;
3) $$2y$$;
4) $$2\sqrt[3]{b}$$.