Упр.728 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 728. Доказать, что число 7n^2+1 не делится на 3 ни при каком натуральном n.

Рассмотрим число $$7n^2+1$$.

Представим его так:

$$7n^2+1=6n^2+(n^2+1).$$

Так как при делении любого натурального числа на $$3$$ квадрат даёт остаток $$0$$ или $$1$$, то для $$n^2$$ возможны только такие остатки.

Если $$n^2 \equiv 0 \pmod{3}$$, то

$$7n^2+1 \equiv 0+1 \equiv 1 \pmod{3}.$$

Если $$n^2 \equiv 1 \pmod{3}$$, то

$$7n^2+1 \equiv 7\cdot 1+1 \equiv 8 \equiv 2 \pmod{3}.$$

В обоих случаях остаток при делении на $$3$$ не равен нулю, значит, число $$7n^2+1$$ не делится на $$3$$ ни при каком натуральном $$n$$.

Ответ

$$7n^2+1$$ не делится на $$3$$ ни при каком натуральном $$n$$.