Упр.727 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Пусть $$m$$ и $$n$$ — взаимно простые натуральные числа. Доказать, что не существует натуральных чисел $$x$$ и $$y$$, удовлетворяющих уравнению $$mx+ny=mn$$.

Пусть $$m$$ и $$n$$ — взаимно простые натуральные числа. Предположим, что существуют натуральные числа $$x$$ и $$y$$, для которых

$$mx+ny=mn.$$

Тогда

$$ny=mn-mx,$$

$$ny=m(n-x),$$

$$y=\frac{m}{n}(n-x).$$

Так как $$m$$ и $$n$$ взаимно просты, то дробь $$\frac{m}{n}$$ не является целым числом. Следовательно, правая часть не может быть натуральным числом при натуральных $$x$$ и $$y$$, а значит, уравнение не имеет решений в натуральных числах.

Ответ

Натуральных чисел $$x$$ и $$y$$, удовлетворяющих уравнению $$mx+ny=mn$$, не существует.