Упр.726 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Доказать, что не существует целых чисел $$x$$, $$y$$, для которых справедливо равенство $$x^2-y^2=2014$$.

Рассмотрим квадрат любого целого числа. Любое целое число при делении на $$4$$ даёт один из четырёх остатков:

$$n=2k,\quad n=2k+1,\quad n=2k+2,\quad n=2k+3.$$

Тогда его квадрат имеет вид:

$$(2k)^2=4k^2,$$
$$(2k+1)^2=4k^2+4k+1,$$
$$(2k+2)^2=4k^2+8k+4,$$
$$(2k+3)^2=4k^2+12k+9.$$

Следовательно, квадрат любого целого числа при делении на $$4$$ может давать только остаток $$0$$ или $$1$$.

Тогда разность двух квадратов целых чисел тоже может давать при делении на $$4$$ только остатки $$0$$, $$1$$ или $$3$$, но не $$2$$.

Число $$2014$$ при делении на $$4$$ даёт остаток $$2$$, так как

$$2014=4\cdot 503+2.$$

Значит, равенство

$$x^2-y^2=2014$$

не может выполняться для целых чисел $$x$$ и $$y$$.

Ответ

Таких целых чисел $$x$$ и $$y$$ не существует.