Упр.726 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 726. Доказать, что не существует целых чисел x, y, для которых справедливо равенство x^2-y^2=2014.

Рассмотрим квадрат любого целого числа. Любое целое число при делении на $$4$$ даёт один из четырёх остатков:

$$n=2k,\quad n=2k+1,\quad n=2k+2,\quad n=2k+3.$$

Тогда его квадрат имеет вид:

$$ (2k)^2=4k^2, $$
$$ (2k+1)^2=4k^2+4k+1, $$
$$ (2k+2)^2=4k^2+8k+4, $$
$$ (2k+3)^2=4k^2+12k+9. $$

Следовательно, квадрат любого целого числа при делении на $$4$$ может давать только остаток $$0$$ или $$1$$.

Тогда разность двух квадратов целых чисел тоже может давать при делении на $$4$$ только остатки $$0$$, $$1$$ или $$3$$, но не $$2$$.

Число $$2014$$ при делении на $$4$$ даёт остаток $$2$$, так как

$$2014=4\cdot 503+2.$$

Значит, равенство

$$x^2-y^2=2014$$

не может выполняться для целых чисел $$x$$ и $$y$$.

Ответ

Таких целых чисел $$x$$ и $$y$$ не существует.