Упр.725 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Пусть $$m$$, $$n$$ — натуральные числа, и пусть число $$m-1$$ делится на $$3^n$$. Доказать, что число $$m^3-1$$ делится на $$3^{n+1}$$.

Так как $$m-1$$ делится на $$3^n$$, то существует натуральное число $$k$$ такое, что

$$m-1=3^n k.$$

Тогда

$$m^3-1=(m-1)(m^2+m+1).$$

Осталось показать, что выражение $$m^2+m+1$$ делится на $$3$$. Преобразуем его:

$$m^2+m+1=(m-1)^2+3m.$$

Так как $$m-1$$ делится на $$3^n$$, то тем более $$m-1$$ делится на $$3$$, значит, $$(m-1)^2$$ делится на $$3$$. Кроме того, $$3m$$ тоже делится на $$3$$. Следовательно, $$m^2+m+1$$ делится на $$3$$.

Значит, произведение

$$m^3-1=(m-1)(m^2+m+1)$$

делится на $$3^n \cdot 3=3^{n+1}$$.

Ответ

$$m^3-1$$ делится на $$3^{n+1}$$.