Упр.724 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 724. Доказать, что если сумма цифр натурального числа не меняется при умножении его на 5, то это число делится на 9.

Пусть $$n$$ — данное натуральное число. По условию сумма цифр числа $$n$$ и числа $$5n$$ одинакова, значит, эти числа имеют одинаковый остаток при делении на $$9$$.

Тогда их разность делится на $$9$$:

$$5n-n=4n,$$

следовательно, $$4n$$ делится на $$9$$.

Так как числа $$4$$ и $$9$$ взаимно простые, то из делимости $$4n$$ на $$9$$ следует, что $$n$$ делится на $$9$$.

Ответ

$$n$$ делится на $$9$$.