Упр.723 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Доказать, что:

1. 1) число $$10^{70}-361$$ делится на $$27$$; 2) число $$10^{80}-298$$ делится на $$99$$; 3) число $$91^{50}-19^{75}$$ делится на $$18$$; 4) число $$(75\cdot94)^{26}+(39\cdot56)^{25}$$ делится на $$19$$.

1. $$10^{70}-361=100\ldots 00-361=999\ldots 99639.$$

   Сумма цифр этого числа равна

   $$S_1=639+22\cdot 999+9=22626.$$

   Сумма цифр числа $$22626$$ равна

   $$S_2=2+2+6+2+6=18,$$

   а $$18$$ делится на $$27$$? Нет, значит удобнее проверить делимость исходного числа по модулю $$27$$:

   $$10^3=1000\equiv 1 \pmod{27},$$

   поэтому

   $$10^{70}=10^{69}\cdot 10=(10^3)^{23}\cdot 10\equiv 10 \pmod{27}.$$

   Кроме того, $$361\equiv 10 \pmod{27}$$, значит

   $$10^{70}-361\equiv 10-10\equiv 0 \pmod{27}.$$

2. $$10^{80}-298=100\ldots 00-298=999\ldots 99702.$$

   Так как $$10^2=100\equiv 1 \pmod{99},$$ то

   $$10^{80}=(10^2)^{40}\equiv 1 \pmod{99}.$$

   Также $$298\equiv 1 \pmod{99}$$, следовательно

   $$10^{80}-298\equiv 1-1\equiv 0 \pmod{99}.$$

3. $$91^{50}-19^{75}.$$

   По модулю $$18$$ имеем

   $$91\equiv 1 \pmod{18}, \qquad 19\equiv 1 \pmod{18}.$$

   Тогда

   $$91^{50}\equiv 1^{50}\equiv 1 \pmod{18},$$

   $$19^{75}\equiv 1^{75}\equiv 1 \pmod{18}.$$

   Следовательно,

   $$91^{50}-19^{75}\equiv 1-1\equiv 0 \pmod{18}.$$

4. $$(75\cdot 94)^{26}+(39\cdot 56)^{25}.$$

   По модулю $$19$$:

   $$75\equiv -1,\quad 94\equiv -1,\quad 39\equiv 1,\quad 56\equiv -1.$$

   Тогда

   $$75\cdot 94\equiv (-1)(-1)\equiv 1 \pmod{19},$$

   $$39\cdot 56\equiv 1\cdot (-1)\equiv -1 \pmod{19}.$$

   Следовательно,

   $$(75\cdot 94)^{26}\equiv 1^{26}\equiv 1 \pmod{19},$$

   $$(39\cdot 56)^{25}\equiv (-1)^{25}\equiv -1 \pmod{19}.$$

   Итак,

   $$(75\cdot 94)^{26}+(39\cdot 56)^{25}\equiv 1+(-1)\equiv 0 \pmod{19}.$$

Ответ

Все четыре числа делятся соответственно на $$27$$, $$99$$, $$18$$ и $$19$$.