Упр.722 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 722. Доказать, что при любом натуральном n число 3n+2 не является квадратом целого числа.

Рассмотрим квадрат любого целого числа. Любое целое число при делении на $$3$$ даёт один из трёх остатков:

$$x=3k,\quad x=3k+1,\quad x=3k+2,$$

где $$k$$ — целое число.

Тогда:

$$ (3k)^2=9k^2=3\cdot 3k^2, $$

то есть остаток от деления на $$3$$ равен $$0$$;

$$ (3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1, $$

то есть остаток равен $$1$$;

$$ (3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1, $$

то есть остаток тоже равен $$1$$.

Следовательно, квадрат целого числа при делении на $$3$$ может давать только остаток $$0$$ или $$1$$, но не $$2$$.

Число $$3n+2$$ при делении на $$3$$ даёт остаток $$2$$. Значит, оно не может быть квадратом целого числа при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$3n+2$$ не является квадратом целого числа ни при каком натуральном $$n$$.