Упр.721 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 721. Доказать, что если натуральное число не делится на 3, то остаток от деления квадрата этого числа на 3 равен 1.

Если натуральное число не делится на $3$, то оно при делении на $3$ даёт остаток $1$ или $2$. Значит, его можно записать в одном из двух видов:

$$n=3k+1 \quad \text{или} \quad n=3k+2,$$

где $k$ — натуральное число или целое неотрицательное число.

Рассмотрим оба случая.

1) Если $$n=3k+1,$$ то

$$ n^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1. $$

Значит, при делении $n^2$ на $3$ остаток равен $1$.

2) Если $$n=3k+2,$$ то

$$ n^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1. $$

Значит, и в этом случае при делении $n^2$ на $3$ остаток равен $1$.

Следовательно, если натуральное число не делится на $3$, то квадрат этого числа при делении на $3$ даёт остаток $1$.

Ответ

Остаток от деления $n^2$ на $3$ равен $1$.