Упр.720 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. В арифметической прогрессии сумма первого и шестого членов равна $$11$$, а сумма второго и четвёртого членов равна $$10$$. Найти сумму первых шести членов этой прогрессии.

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — её разность. Тогда

$$a_6=a_1+5d,\qquad a_4=a_1+3d,\qquad a_2=a_1+d.$$

По условию:

$$a_1+a_6=11,$$

$$a_2+a_4=10.$$

Подставим выражения через $$a_1$$ и $$d$$:

$$a_1+(a_1+5d)=11,$$

$$(a_1+d)+(a_1+3d)=10.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} 2a_1+5d=11,\\ 2a_1+4d=10. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$d=1.$$

Тогда из уравнения $$2a_1+4d=10$$:

$$2a_1+4=10,$$

$$2a_1=6,$$

$$a_1=3.$$

Сумма первых шести членов арифметической прогрессии:

$$S_6=\frac{a_1+a_6}{2}\cdot 6.$$

Так как $$a_1+a_6=11$$, то

$$S_6=\frac{11}{2}\cdot 6=33.$$

Ответ

$$33$$