Упр.715 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 715. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 6, а разность между первым и третьим членами равна 3. Найти сумму первых шести членов прогрессии.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель равен $$q$$. Тогда

$$b_2=b_1q,\qquad b_3=b_1q^2.$$

По условию:

$$b_1+b_2=6,$$

$$b_1-b_3=3.$$

Подставим выражения для членов прогрессии:

$$b_1+b_1q=6,$$

$$b_1-b_1q^2=3.$$

Из первого уравнения получаем

$$b_1(1+q)=6,$$

$$b_1=\frac{6}{1+q}.$$

Подставим это во второе уравнение:

$$\frac{6}{1+q}(1-q^2)=3.$$

Так как $$1-q^2=(1-q)(1+q),$$ то

$$6(1-q)=3,$$

$$1-q=\frac{1}{2},$$

$$q=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$b_1=\frac{6}{1+\frac{1}{2}}=4.$$

Найдём сумму первых шести членов:

$$S_6=\frac{b_1(1-q^6)}{1-q}.$$

Подставим значения:

$$S_6=\frac{4\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^6\right)}{1-\frac{1}{2}}=\frac{4\left(1-\frac{1}{64}\right)}{\frac{1}{2}}=8\cdot\frac{63}{64}=\frac{63}{8}=7\frac{7}{8}.$$

Ответ

$$7\frac{7}{8}$$