Упр.714 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 714. Найти p и q, если парабола y=x^2+px+q пересекает ось абсцисс в точке x=2, а ось ординат в точке y=-2. Определить координаты вершины параболы и выяснить, при каких значениях х парабола расположена ниже оси абсцисс.

Так как парабола $$y=x^2+px+q$$ пересекает ось ординат в точке с ординатой $$-2$$, подставим $$x=0$$:

$$-2=0^2+p\cdot 0+q,$$

откуда $$q=-2$$.

Парабола пересекает ось абсцисс в точке $$x=2$$, значит при $$x=2$$ значение функции равно нулю:

$$0=2^2+2p+q.$$

Подставим $$q=-2$$:

$$0=4+2p-2,$$

$$2p=-2,$$

$$p=-1.$$

Итак, уравнение параболы:

$$y=x^2-x-2.$$

Найдём координаты вершины. Для параболы $$y=ax^2+bx+c$$ абсцисса вершины равна

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot 1}=\frac12.$$

Тогда ордината вершины:

$$y_0=\left(\frac12\right)^2-\frac12-2=\frac14-\frac12-2=-\frac94.$$

Значит, вершина параболы имеет координаты $$\left(\frac12;-\frac94\right).$$

Чтобы найти, при каких значениях $$x$$ парабола расположена ниже оси абсцисс, решим неравенство:

$$x^2-x-2<0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1).$$

Тогда

$$ (x-2)(x+1)<0,$$

что выполняется между корнями:

$$-1<x<2.$$

Ответ

$$p=-1,\quad q=-2,\quad \left(\frac12;-\frac94\right),\quad x\in(-1;2).$$