Упр.698 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Упростить выражение $$\left(\frac{ax-b}{a+b}-\frac{bx+a}{b-a}\right)\cdot\left(\frac{a^2-b^2}{x^2-1}:\frac{a^2+b^2}{x-1}\right)$$.

Преобразуем выражение:

$$\left(\frac{ax-b}{a+b}-\frac{bx+a}{b-a}\right)\cdot \left(\frac{a^2-b^2}{x^2-1}:\frac{a^2+b^2}{x-1}\right)$$

Сначала упростим первую скобку:

$$\frac{ax-b}{a+b}-\frac{bx+a}{b-a} = \frac{(ax-b)(b-a)-(bx+a)(a+b)}{(a+b)(b-a)}$$

$$(ax-b)(b-a)=abx-a^2x-b^2+ab$$

$$(bx+a)(a+b)=abx+b^2x+a^2+ab$$

Тогда

$$\frac{abx-a^2x-b^2+ab-abx-b^2x-a^2-ab}{(a+b)(b-a)} = \frac{-a^2x-b^2x-a^2-b^2}{(a+b)(b-a)}$$

$$= \frac{-(x+1)(a^2+b^2)}{(a+b)(b-a)} = \frac{(x+1)(a^2+b^2)}{a^2-b^2}$$

Теперь преобразуем вторую скобку:

$$\frac{a^2-b^2}{x^2-1}:\frac{a^2+b^2}{x-1} = \frac{a^2-b^2}{(x-1)(x+1)}\cdot\frac{x-1}{a^2+b^2} = \frac{a^2-b^2}{(x+1)(a^2+b^2)}$$

Перемножим полученные выражения:

$$\frac{(x+1)(a^2+b^2)}{a^2-b^2}\cdot \frac{a^2-b^2}{(x+1)(a^2+b^2)}=1$$

Ответ

$$1$$