Упр.690 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Найти пятый член геометрической прогрессии $$b_1, b_2, \ldots, b_n, \ldots$$, если $$b_2-b_1=18$$, $$b_3-b_1=42$$.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, а $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2.$$

По условию:

$$b_2-b_1=18,$$

$$b_3-b_1=42.$$

Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

$$b_1q-b_1=18,$$

$$b_1(q-1)=18,$$

$$b_1=\frac{18}{q-1}.$$

Теперь второе уравнение:

$$b_1q^2-b_1=42,$$

$$b_1(q^2-1)=42,$$

$$\frac{18}{q-1}(q^2-1)=42.$$

Разложим разность квадратов:

$$\frac{18}{q-1}(q-1)(q+1)=42,$$

$$18(q+1)=42,$$

$$q+1=\frac{7}{3},$$

$$q=\frac{4}{3}.$$

Найдём первый член:

$$b_1=\frac{18}{\frac{4}{3}-1}=\frac{18}{\frac{1}{3}}=54.$$

Тогда пятый член прогрессии:

$$b_5=b_1q^4=54\left(\frac{4}{3}\right)^4=54\cdot\frac{256}{81}=\frac{512}{3}=170\frac{2}{3}.$$

Ответ

$$170\frac{2}{3}$$