Упр.689 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Упростить выражение $$\left(\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}-\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\right)\cdot\frac{2a^2-2b^2}{a^2+b^2}$$.

Преобразуем выражение:

$$\left(\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}-\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\right)\cdot \frac{2a^2-2b^2}{a^2+b^2}$$

Приведём первые две дроби к общему знаменателю:

$$\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b} = \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a-b)(a+b)}$$

Тогда

$$\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{a^2-b^2}-\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)^2+(a-b)^2-(a^2+b^2)}{a^2-b^2}$$

Раскроем скобки:

$$(a+b)^2+(a-b)^2 = a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2 = 2a^2+2b^2$$

Значит,

$$\frac{2a^2+2b^2-(a^2+b^2)}{a^2-b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$$

Подставим это в исходное выражение:

$$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\cdot \frac{2a^2-2b^2}{a^2+b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\cdot \frac{2(a^2-b^2)}{a^2+b^2} =2$$

Ответ

$$2$$