Упр.672 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Выполнить действия: $$\frac{1-a}{1-a+a^2}-\frac{2}{1+a}+\frac{-3-7a+2a^2}{a^3+1}.$$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{1-a}{1-a+a^2}-\frac{2}{1+a}+\frac{-3-7a+2a^2}{a^3+1}$$

Так как

$$a^3+1=(a+1)(a^2-a+1),$$

то общий знаменатель равен $$a^3+1$$. Тогда

$$\frac{1-a}{1-a+a^2}-\frac{2}{1+a}+\frac{-3-7a+2a^2}{a^3+1} = \frac{(1-a)(a+1)-2(a^2-a+1)+(-3-7a+2a^2)}{a^3+1}.$$

Упростим числитель:

$$(1-a)(a+1)-2(a^2-a+1)+(-3-7a+2a^2)$$
$$= (1-a^2)+(-2a^2+2a-2)+(-3-7a+2a^2)$$
$$= -a^2-5a-4.$$

Тогда

$$\frac{-a^2-5a-4}{a^3+1} = -\frac{a^2+5a+4}{(a+1)(a^2-a+1)}.$$

Разложим числитель на множители:

$$a^2+5a+4=(a+1)(a+4).$$

Сокращаем на $$a+1$$:

$$-\frac{(a+1)(a+4)}{(a+1)(a^2-a+1)}=-\frac{a+4}{a^2-a+1}.$$

Ответ

$$-\frac{a+4}{a^2-a+1}$$