Упр.669 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 669. Сумма чисел х, y, z равна 25. Числа х, 2y, z являются последовательными членами арифметической прогрессии, а числа х, y+1, z — последовательными членами геометрической прогрессии. Найти х, y, z.

Подробный ответ

Пусть $$x+y+z=25.$$ Тогда

$$x=25-y-z.$$

Так как числа $$x,\,2y,\,z$$ — последовательные члены арифметической прогрессии, то средний член равен среднему арифметическому крайних:

$$2\cdot 2y=x+z.$$

Отсюда

$$4y=x+z.$$

Подставим $$x=25-y-z$$:

$$4y=25-y-z+z,$$

$$5y=25,$$

$$y=5.$$

Тогда

$$x=25-5-z=20-z.$$

Теперь используем условие, что числа $$x,\,y+1,\,z$$ — последовательные члены геометрической прогрессии. Значит, квадрат среднего члена равен произведению крайних:

$$\left(y+1\right)^2=xz.$$

Подставим $$y=5$$ и $$x=20-z$$:

$$6^2=(20-z)z,$$

$$36=20z-z^2,$$

$$z^2-20z+36=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=20^2-4\cdot 36=400-144=256,$$

$$z=\frac{20\pm 16}{2}.$$

Получаем:

$$z_1=2,\qquad z_2=18.$$

Тогда

$$x=20-z,$$