Упр.667 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Вычислить первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если:
   1) $$b_1+b_2=20$$, $$b_2+b_3=60$$;
   2) $$b_1+b_2=60$$, $$b_1+b_3=51$$.

1. Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Тогда

   $$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2.$$

   1) Из условий получаем систему:

   $$\begin{cases} b_1+b_1q=20,\\ b_1q+b_1q^2=60. \end{cases}$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\begin{cases} b_1(1+q)=20,\\ b_1q(1+q)=60. \end{cases}$$

   Разделим второе уравнение на первое:

   $$q=\frac{60}{20}=3.$$

   Тогда

   $$b_1=\frac{20}{1+3}=5.$$

2. 2) Из условий:

   $$\begin{cases} b_1+b_1q=60,\\ b_1+b_1q^2=51. \end{cases}$$

   Преобразуем:

   $$\begin{cases} b_1(1+q)=60,\\ b_1(1+q^2)=51. \end{cases}$$

   Выразим $$b_1$$ из первого уравнения и подставим во второе:

   $$\frac{60(1+q^2)}{1+q}=51.$$

   Умножим на $$1+q$$:

   $$60(1+q^2)=51(1+q).$$

   $$60q^2-51q+9=0.$$

   Разделим на $$3$$:

   $$20q^2-17q+3=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=17^2-4\cdot 20\cdot 3=289-240=49.$$

   $$q=\frac{17\pm 7}{40}.$$

   Отсюда

   $$q_1=\frac{24}{40}=0{,}6,\qquad q_2=\frac{10}{40}=0{,}25.$$

   Найдём соответствующие значения $$b_1$$:

   $$b_1=\frac{60}{1+0{,}6}=37{,}5,$$

   $$b_1=\frac{60}{1+0{,}25}=48.$$

Ответ

1) $$b_1=5,\ q=3.$$

2) $$b_1=48,\ q=0{,}25$$ или $$b_1=37{,}5,\ q=0{,}6.$$