Упр.666 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. В геометрической прогрессии найти: 1) $$b_1$$ и $$b_5$$, если $$q=3$$, $$S_5=484$$; 2) $$b_1$$ и $$q$$, если $$b_3=0{,}024$$, $$S_3=0{,}504$$.

1. Для суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии используем формулу

   $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, \quad q\ne 1.$$

   При $$q=3$$ и $$S_5=484$$ получаем:

   $$484=\frac{b_1(3^5-1)}{3-1}.$$

   $$484=\frac{b_1(243-1)}{2}=\frac{242b_1}{2}=121b_1.$$

   $$b_1=4.$$

   Тогда

   $$b_5=b_1q^4=4\cdot 3^4=4\cdot 81=324.$$

2. Пусть $$b_3=0{,}024$$, $$S_3=0{,}504$$. Тогда

   $$b_1=\frac{b_3}{q^2}, \quad b_2=\frac{b_3}{q}.$$

   Сумма трёх первых членов:

   $$S_3=b_1+b_2+b_3=\frac{b_3}{q^2}+\frac{b_3}{q}+b_3.$$

   Подставим данные:

   $$0{,}504=\frac{0{,}024}{q^2}+\frac{0{,}024}{q}+0{,}024.$$

   Умножим на $$q^2$$:

   $$0{,}504q^2=0{,}024(1+q+q^2).$$

   Так как $$0{,}504:0{,}024=21$$, получаем:

   $$21q^2=1+q+q^2.$$

   $$20q^2-q-1=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=(-1)^2-4\cdot 20\cdot(-1)=1+80=81.$$

   $$q=\frac{1\pm 9}{40}.$$

   Отсюда

   $$q_1=-0{,}2,\quad q_2=0{,}25.$$

   Найдём $$b_1$$:

   $$b_1=\frac{0{,}024}{q^2}.$$

   Если $$q=-0{,}2$$, то

   $$b_1=\frac{0{,}024}{(-0{,}2)^2}=0{,}6.$$

   Если $$q=0{,}25$$, то

   $$b_1=\frac{0{,}024}{(0{,}25)^2}=0{,}384.$$

Ответ

1) $$b_1=4$$, $$b_5=324$$;

2) $$b_1=0{,}6$$, $$q=-0{,}2$$ или $$b_1=0{,}384$$, $$q=0{,}25$$.