Упр.658 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) a_3=25, a_10=-3; 2) a_4=10, a_7=19;
3) a_3+a_7=4, a_2+a_14=-8; 4) a_2+a_4=16, (a_1)(a_5)=28;
5) S_20=110, a_15-a_5=8/3; 6) a_1+a_2+a_3=15, (a_1)(a_2)(a_3)=80.

1. $$a_3=25,\quad a_{10}=-3$$

   Для арифметической прогрессии $$a_n=a_1+(n-1)d$$, значит

   $$a_1+2d=25,\quad a_1+9d=-3.$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$7d=-28,\quad d=-4.$$

   Тогда

   $$a_1=25-2\cdot(-4)=33.$$

2. $$a_4=10,\quad a_7=19$$

   Составим уравнения:

   $$a_1+3d=10,\quad a_1+6d=19.$$

   Вычтем первое из второго:

   $$3d=9,\quad d=3.$$

   Тогда

   $$a_1=10-3\cdot 3=1.$$

3. $$a_3+a_7=4,\quad a_2+a_{14}=-8$$

   Имеем:

   $$a_1+2d+a_1+6d=4,\quad a_1+d+a_1+13d=-8.$$

   Получаем систему:

   $$2a_1+8d=4,\quad 2a_1+14d=-8.$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$6d=-12,\quad d=-2.$$

   Тогда

   $$2a_1+8\cdot(-2)=4,\quad 2a_1=20,\quad a_1=10.$$

4. $$a_2+a_4=16,\quad a_1a_5=28$$

   Запишем через $$a_1$$ и $$d$$:

   $$a_1+d+a_1+3d=16,\quad a_1(a_1+4d)=28.$$

   Из первого уравнения:

   $$2a_1+4d=16,\quad a_1=8-2d.$$

   Подставим во второе:

   $$ (8-2d)(8-2d+4d)=28 $$

   $$ (8-2d)(8+2d)=28 $$

   $$ 64-4d^2=28 $$

   $$ d^2=9,\quad d=\pm 3.$$

   Если $$d=3$$, то $$a_1=8-2\cdot 3=2.$$

   Если $$d=-3$$, то $$a_1=8-2\cdot(-3)=14.$$

5. $$S_{20}=110,\quad a_{15}-a_5=\frac{8}{3}$$

   Так как

   $$a_{15}-a_5=(a_1+14d)-(a_1+4d)=10d,$$

   то

   $$10d=\frac{8}{3},\quad d=\frac{4}{15}.$$

   По формуле суммы:

   $$S_{20}=\frac{20}{2}\bigl(2a_1+19d\bigr)=110.$$

   Тогда

   $$10\left(2a_1+19\cdot\frac{4}{15}\right)=110,$$

   $$2a_1+\frac{76}{15}=11,$$

   $$2a_1=\frac{89}{15},\quad a_1=\frac{89}{30}=2\frac{29}{30}.$$

6. $$a_1+a_2+a_3=15,\quad a_1a_2a_3=80$$

   Пусть $$a_2=a_1+d,\ a_3=a_1+2d$$. Тогда

   $$a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=15,$$

   $$3a_1+3d=15,\quad a_1=5-d.$$

   Из произведения:

   $$a_1(a_1+d)(a_1+2d)=80.$$

   Подставим $$a_1=5-d$$:

   $$ (5-d)\cdot 5 \cdot (5+d)=80 $$

   $$ 5(25-d^2)=80 $$

   $$ 25-d^2=16 $$

   $$ d^2=9,\quad d=\pm 3.$$

   Если $$d=3$$, то $$a_1=5-3=2.$$

   Если $$d=-3$$, то $$a_1=5-(-3)=8.$$

Ответ

1) $$a_1=33,\ d=-4$$; 2) $$a_1=1,\ d=3$$; 3) $$a_1=10,\ d=-2$$; 4) $$a_1=14,\ d=-3$$ или $$a_1=2,\ d=3$$; 5) $$a_1=\frac{89}{30},\ d=\frac{4}{15}$$; 6) $$a_1=8,\ d=-3$$ или $$a_1=2,\ d=3$$.