Упр.655 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 655. Найти сумму десяти первых членов последовательности, заданной рекуррентной формулой b_(n+1)=-(b_n)/2 и условием b_1=1024.

Последовательность задана рекуррентно:

$$b_1=1024,\quad b_{n+1}=-\frac{b_n}{2}.$$

Найдём знаменатель геометрической прогрессии:

$$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=-\frac12.$$

Тогда сумма первых $10$ членов равна

$$S_{10}=\frac{b_1(1-q^{10})}{1-q}.$$

Подставим значения:

$$S_{10}=\frac{1024\left(1-\left(-\frac12\right)^{10}\right)}{1-\left(-\frac12\right)}.$$

Так как

$$\left(-\frac12\right)^{10}=\frac{1}{1024},$$

получаем

$$S_{10}=\frac{1024\left(1-\frac{1}{1024}\right)}{\frac32} =\frac{1024\cdot \frac{1023}{1024}}{\frac32} =\frac{1023}{\frac32} =682.$$

Ответ

$$682$$