Упр.641 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)
1) y=2x^2-3; 2) y=-2x^2+1;
3) y=2(x-1)^2; 4) y=2(x+2)^2;
5) y=2(x-3)^2+1; 6) y=-3(x-1)^2+5;
7) y=x^2+2x-8; 8) y=x^2-4x+3.
$$y=2x^2-3$$
Вершина параболы: $$x_0=0,\ y_0=-3.$$
Нули функции найдём из уравнения:
$$2x^2-3=0$$
$$x^2=\frac{3}{2}$$
$$x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}=\pm\frac{\sqrt6}{2}.$$
Так как $$a>0,$$ то парабола направлена вверх.
Следовательно, $$y>0$$ при $$x\in\left(-\infty;-\frac{\sqrt6}{2}\right)\cup\left(\frac{\sqrt6}{2};+\infty\right),$$ а $$y<0$$ при $$x\in\left(-\frac{\sqrt6}{2};\frac{\sqrt6}{2}\right).$$
$$y=-2x^2+1$$
Вершина параболы: $$x_0=0,\ y_0=1.$$
Нули функции:
$$-2x^2+1=0$$
$$x^2=\frac12$$
$$x=\pm\frac{\sqrt2}{2}.$$
Так как $$a<0,$$ то парабола направлена вниз.
Значит, $$y>0$$ при $$x\in\left(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right),$$ а $$y<0$$ при $$x\in\left(-\infty;-\frac{\sqrt2}{2}\right)\cup\left(\frac{\sqrt2}{2};+\infty\right).$$
$$y=2(x-1)^2$$
Вершина параболы: $$x_0=1,\ y_0=0.$$
Так как $$2(x-1)^2\ge 0$$ при всех $$x,$$ то
$$y=0 \text{ при } x=1,$$
$$y>0 \text{ при } x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty),$$
$$y<0$$ не бывает.
$$y=2(x+2)^2$$
Вершина параболы: $$x_0=-2,\ y_0=0.$$
Так как $$2(x+2)^2\ge 0$$ при всех $$x,$$ то
$$y=0 \text{ при } x=-2,$$
$$y>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty),$$
$$y<0$$ не бывает.
$$y=2(x-3)^2+1$$
Вершина параболы: $$x_0=3,\ y_0=1.$$
Так как $$2(x-3)^2+1\ge 1,$$ то функция всегда положительна.
Следовательно, $$y=0$$ не бывает, $$y>0$$ при всех $$x\in(-\infty;+\infty),$$ а $$y<0$$ не бывает.
$$y=-3(x-1)^2+5$$
Вершина параболы: $$x_0=1,\ y_0=5.$$
Нули функции:
$$-3(x-1)^2+5=0$$
$$3(x-1)^2=5$$
$$ (x-1)^2=\frac53$$
$$x=1\pm\sqrt{\frac53}=1\pm\frac{\sqrt{15}}{3}.$$
Так как $$a<0,$$ то парабола направлена вниз.
Значит, $$y>0$$ при $$x\in\left(1-\frac{\sqrt{15}}{3};\,1+\frac{\sqrt{15}}{3}\right),$$ а $$y<0$$ при $$x\in\left(-\infty;1-\frac{\sqrt{15}}{3}\right)\cup\left(1+\frac{\sqrt{15}}{3};+\infty\right).$$
$$y=x^2+2x-8$$
Найдём вершину параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot1}=-1,$$
$$y_0=(-1)^2+2\cdot(-1)-8=1-2-8=-9.$$
Разложим на множители:
$$x^2+2x-8=(x+4)(x-2).$$
Тогда
$$y=0 \text{ при } x=-4 \text{ и } x=2,$$
$$y>0 \text{ при } x\in(-\infty;-4)\cup(2;+\infty),$$
$$y<0 \text{ при } x\in(-4;2).$$
$$y=x^2-4x+3$$
Найдём вершину параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot1}=2,$$
$$y_0=2^2-4\cdot2+3=4-8+3=-1.$$
Разложим на множители:
$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$
Тогда
$$y=0 \text{ при } x=1 \text{ и } x=3,$$
$$y>0 \text{ при } x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty),$$
$$y<0 \text{ при } x\in(1;3).$$
Ответ
1) $$y=0$$ при $$x=\pm\frac{\sqrt6}{2}$$; $$y>0$$ при $$x\in\left(-\infty;-\frac{\sqrt6}{2}\right)\cup\left(\frac{\sqrt6}{2};+\infty\right)$$; $$y<0$$ при $$x\in\left(-\frac{\sqrt6}{2};\frac{\sqrt6}{2}\right).$$
2) $$y=0$$ при $$x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$$; $$y>0$$ при $$x\in\left(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)$$; $$y<0$$ при $$x\in\left(-\infty;-\frac{\sqrt2}{2}\right)\cup\left(\frac{\sqrt2}{2};+\infty\right).$$
3) $$y=0$$ при $$x=1$$; $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$$; $$y<0$$ — нет.
4) $$y=0$$ при $$x=-2$$; $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$$; $$y<0$$ — нет.
5) $$y=0$$ — нет; $$y>0$$ при всех $$x\in(-\infty;+\infty)$$; $$y<0$$ — нет.
6) $$y=0$$ при $$x=1\pm\frac{\sqrt{15}}{3}$$; $$y>0$$ при $$x\in\left(1-\frac{\sqrt{15}}{3};\,1+\frac{\sqrt{15}}{3}\right)$$; $$y<0$$ при $$x\in\left(-\infty;1-\frac{\sqrt{15}}{3}\right)\cup\left(1+\frac{\sqrt{15}}{3};+\infty\right).$$
7) $$y=0$$ при $$x=-4,\ 2$$; $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;-4)\cup(2;+\infty)$$; $$y<0$$ при $$x\in(-4;2).$$
8) $$y=0$$ при $$x=1,\ 3$$; $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty)$$; $$y<0$$ при $$x\in(1;3).$$
