Упр.616 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) a^2-ab+b^2?ab; 2) 1+b/2?v(2b), если b?0;
3) a^2+a^(-2)?2, если a?0; 4) a^3+a^(-3)?2, если a > 0.

1. $$a^2-ab+b^2-ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\ge 0.$$
   Значит,
   $$a^2-ab+b^2\ge ab.$$

2. При $$b\ge 0$$ рассмотрим разность:
   $$1+\frac{b}{2}-\sqrt{2b}=\frac{2+b-2\sqrt{2b}}{2}=\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{b})^2}{2}\ge 0.$$
   Следовательно,
   $$1+\frac{b}{2}\ge \sqrt{2b}.$$

3. При $$a\ne 0$$:
   $$a^2+a^{-2}-2=\frac{a^4+1-2a^2}{a^2}=\frac{(a^2-1)^2}{a^2}\ge 0.$$
   Значит,
   $$a^2+a^{-2}\ge 2.$$

4. При $$a>0$$:
   $$a^3+a^{-3}-2=\frac{a^6+1-2a^3}{a^3}=\frac{(a^3-1)^2}{a^3}\ge 0.$$
   Следовательно,
   $$a^3+a^{-3}\ge 2.$$

Ответ

$$a^2-ab+b^2\ge ab; \quad 1+\frac{b}{2}\ge \sqrt{2b}\ (b\ge 0); \quad a^2+a^{-2}\ge 2\ (a\ne 0); \quad a^3+a^{-3}\ge 2\ (a>0).$$