Упр.615 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Задача

1) (x+3)(x-7)/(2-x) > 0; 2) (x+1)(4-x)/(x+5) < 0; 3) (x^2-x-12)/(x+5)?0; 4) (x^2-7x+12)/(x-1) < 0; 5) ((x-1)(x+2)(x-3))/((x-4)(x+5)) < 0; 6) ((x+7)(x-3))/((8-x)(x+6)(x-1)) < 0.

Подробный ответ

$$\frac{(x+3)(x-7)}{2-x}>0$$
Так как $$2-x=-(x-2)$$, получаем
$$\frac{(x+3)(x-7)}{x-2}<0.$$
Критические точки: $$x=-3,\;2,\;7.$$
Знак дроби отрицателен при
$$x\in(-\infty;-3)\cup(2;7).$$
$$\frac{(x+1)(4-x)}{x+5}<0$$
Преобразуем:
$$\frac{(x+1)(x-4)}{x+5}>0.$$
Критические точки: $$x=-5,\,-1,\,4.$$
Знак дроби положителен при
$$x\in(-5;-1)\cup(4;+\infty).$$
$$\frac{x^2-x-12}{x+5}\ge 0$$
Разложим числитель на множители:
$$x^2-x-12=(x+3)(x-4).$$
Тогда
$$\frac{(x+3)(x-4)}{x+5}\ge 0.$$
Критические точки: $$x=-5,\,-3,\,4.$$
Получаем
$$x\in(-5;-3]\cup[4;+\infty).$$
$$\frac{x^2-7x+12}{x-1}<0$$
Разложим числитель:
$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4).$$
Тогда
$$\frac{(x-3)(x-4)}{x-1}<0.$$
Критические точки: $$x=1,\;3,\;4.$$
Знак дроби отрицателен при
$$x\in(-\infty;1)\cup(3;4).$$
$$\frac{(x-1)(x+2)(x-3)}{(x-4)(x+5)}<0$$
Критические точки: $$x=-5,\,-2,\,1,\,3,\,4.$$
По знакам на промежутках получаем
$$x\in(-\infty;-5)\cup(-2;1)\cup(3;4).$$
$$\frac{(x+7)(x-3)}{(8-x)(x+6)(x-1)}<0$$
Преобразуем знаменатель: $$8-x=-(x-8)$$, поэтому
$$\frac{(x+7)(x-3)}{(x+6)(x-1)(x-8)}>0.$$
Критические точки: $$x=-7,\,-6,\,1,\,3,\,8.$$
Знак дроби положителен при
$$x\in(-7;-6)\cup(1;3)\cup(8;+\infty).$$