Упр.606 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) x^2-3x+2 > 0; 2) x^2-2x-3?0;
3) x^2-7x+12 > 0; 4) -x^2+3x-1?0;
5) 3+4x+8x^2 < 0; 6) x-x^2-1?0; 7) 2x^2-x-1 < 0; 8) 3x^2+x-4 > 0.

1. $$x^2-3x+2>0$$
   $$D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1$$
   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}$$
   $$x_1=1,\quad x_2=2$$
   $$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$$
   Произведение положительно вне корней:
   $$x<1 \text{ или } x>2$$

   Ответ: $$x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)$$

2. $$x^2-2x-3\le 0$$
   $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16$$
   $$x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$
   $$x_1=-1,\quad x_2=3$$
   $$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$$
   При ветвях параболы вверх неравенство $$\le 0$$ выполняется между корнями:
   $$-1\le x\le 3$$

   Ответ: $$x\in[-1;3]$$

3. $$x^2-7x+12>0$$
   $$D=7^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1$$
   $$x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{2}$$
   $$x_1=3,\quad x_2=4$$
   $$x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$$
   Произведение положительно вне корней:
   $$x<3 \text{ или } x>4$$

   Ответ: $$x\in(-\infty;3)\cup(4;+\infty)$$

4. $$-x^2+3x-1\ge 0$$
   Умножим на $$-1$$, изменив знак неравенства:
   $$x^2-3x+1\le 0$$
   $$D=3^2-4\cdot 1\cdot 1=9-4=5$$
   $$x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt5}{2}$$
   Тогда
   $$\left(x-\frac{3-\sqrt5}{2}\right)\left(x-\frac{3+\sqrt5}{2}\right)\le 0$$
   Значит,
   $$\frac{3-\sqrt5}{2}\le x\le \frac{3+\sqrt5}{2}$$

   Ответ: $$x\in\left[\frac{3-\sqrt5}{2};\frac{3+\sqrt5}{2}\right]$$

5. $$3+4x+8x^2<0$$
   $$8x^2+4x+3<0$$
   $$D=4^2-4\cdot 8\cdot 3=16-96=-80$$
   Так как $$D<0$$ и $$a=8>0$$, квадратный трёхчлен всегда положителен, значит неравенство решений не имеет.

   Ответ: $$\varnothing$$

6. $$x-x^2-1\ge 0$$
   $$-x^2+x-1\ge 0$$
   Умножим на $$-1$$, изменив знак неравенства:
   $$x^2-x+1\le 0$$
   $$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3$$
   Так как $$D<0$$ и $$a=1>0$$, выражение $$x^2-x+1$$ всегда положительно, поэтому решений нет.

   Ответ: $$\varnothing$$

7. $$2x^2-x-1<0$$
   $$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9$$
   $$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}$$
   $$x_1=-\frac12,\quad x_2=1$$
   $$2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)$$
   При ветвях параболы вверх неравенство $$<0$$ выполняется между корнями:
   $$-\frac12<x<1$$

   Ответ: $$x\in\left(-\frac12;1\right)$$

8. $$3x^2+x-4>0$$
   $$D=1^2-4\cdot 3\cdot(-4)=1+48=49$$
   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{6}$$
   $$x_1=-\frac43,\quad x_2=1$$
   $$3x^2+x-4=\left(3x-4\right)(x+1)$$
   Произведение положительно вне корней:
   $$x<-\frac43 \text{ или } x>1$$

   Ответ: $$x\in\left(-\infty;-\frac43\right)\cup(1;+\infty)$$