Упр.598 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) {(x^2-5y^2=-1, 3xy+7y^2=1); 2) {(3y^2-2xy=160, y^2-3xy-2x^2=8);
3) {(1/x+1/y=3/2, 1/x^2+1/y^2=5/4); 4) {(1/x+1/y=1/3, 1/x^2-1/y^2=4/3);
5) {(2x^2+y^2+5xy=32, y^2-xy-2x^2=0); 6) {(x^2-2y^2+4xy=-45, y^2-xy-6x^2=0);
7) {(27x^3-y^3=26, 9x^2+3xy+y^2=13); 8) {(x^3+8y^3=12xy, x+2y=6).

1. $$\begin{cases} x^2-5y^2=-1,\\ 3xy+7y^2=1 \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$x^2+3xy+2y^2=0.$$
   Тогда
   $$D=(3y)^2-4\cdot 1\cdot 2y^2=y^2,$$
   откуда
   $$x=\frac{-3y\pm y}{2}.$$
   Получаем два случая:
   $$x=-2y \quad \text{или} \quad x=-y.$$
   1) Если $$x=-2y,$$ то
   $$4y^2-5y^2=-1,$$
   $$y^2=1,$$
   $$y=\pm 1,$$
   значит
   $$x=\mp 2.$$
   2) Если $$x=-y,$$ то
   $$y^2-5y^2=-1,$$
   $$-4y^2=-1,$$
   $$y^2=\frac14,$$
   $$y=\pm \frac12,$$
   значит
   $$x=\mp \frac12.$$

   $$(-2;1),\ (2;-1),\ \left(-\frac12;\frac12\right),\ \left(\frac12;-\frac12\right).$$

2. $$\begin{cases} 3y^2-2xy=160,\\ y^2-3xy-2x^2=8 \end{cases}$$
   Умножим второе уравнение на $$20$$ и первое на $$-1$$:
   $$\begin{cases} -3y^2+2xy=-160,\\ 20y^2-60xy-40x^2=160 \end{cases}$$
   Складываем:
   $$40x^2+58xy-17y^2=0.$$
   Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$:
   $$40x^2+58yx-17y^2=0.$$
   Тогда
   $$D=(58y)^2+4\cdot 40\cdot 17y^2=6084y^2,$$
   и
   $$x=\frac{-58y\pm 78y}{80}.$$
   Получаем:
   $$x=-\frac{17}{10}y \quad \text{или} \quad x=\frac14 y.$$
   1) Если $$x=-\frac{17}{10}y,$$ то
   $$3y^2-2y\left(-\frac{17}{10}y\right)=160,$$
   $$\frac{32}{5}y^2=160,$$
   $$y^2=25,$$
   $$y=\pm 5,$$
   значит
   $$x=\mp \frac{17}{2}.$$
   2) Если $$x=\frac14 y,$$ то
   $$3y^2-2y\cdot \frac14 y=160,$$
   $$\frac52 y^2=160,$$
   $$y^2=64,$$
   $$y=\pm 8,$$
   значит
   $$x=\pm 2.$$

   $$\left(-\frac{17}{2};5\right),\ \left(\frac{17}{2};-5\right),\ (-2;-8),\ (2;8).$$

3. $$\begin{cases} \frac1x+\frac1y=\frac32,\\ \frac1{x^2}+\frac1{y^2}=\frac54 \end{cases}$$
   Обозначим
   $$u=\frac1x,\quad v=\frac1y.$$
   Тогда
   $$\begin{cases} u+v=\frac32,\\ u^2+v^2=\frac54 \end{cases}$$
   Из формулы
   $$u^2+v^2=(u+v)^2-2uv$$
   получаем:
   $$\frac54=\left(\frac32\right)^2-2uv,$$
   $$\frac54=\frac94-2uv,$$
   $$2uv=1,$$
   $$uv=\frac12.$$
   Тогда $$u$$ и $$v$$ — корни уравнения
   $$t^2-\frac32 t+\frac12=0,$$
   $$2t^2-3t+1=0,$$
   $$t_1=1,\quad t_2=\frac12.$$
   Значит,
   $$\left(\frac1x,\frac1y\right)=(1,\frac12)\ \text{или}\ \left(\frac12,1\right).$$
   Отсюда
   $$ (x,y)=(1,2)\ \text{или}\ (2,1).$$

   $$(1;2),\ (2;1).$$

4. $$\begin{cases} \frac1x+\frac1y=\frac13,\\ \frac1{x^2}-\frac1{y^2}=\frac43 \end{cases}$$
   Обозначим
   $$u=\frac1x,\quad v=\frac1y.$$
   Тогда
   $$\begin{cases} u+v=\frac13,\\ u^2-v^2=\frac43 \end{cases}$$
   Второе уравнение:
   $$ (u-v)(u+v)=\frac43.$$
   Так как $$u+v=\frac13,$$ то
   $$u-v=4.$$
   Решаем систему
   $$\begin{cases} u+v=\frac13,\\ u-v=4 \end{cases}$$
   Получаем
   $$u=\frac{13}{6},\quad v=-\frac{11}{6}.$$
   Тогда
   $$x=\frac{6}{13},\quad y=-\frac{6}{11}.$$

   $$\left(\frac{6}{13};-\frac{6}{11}\right).$$

5. $$\begin{cases} 2x^2+y^2+5xy=32,\\ y^2-xy-2x^2=0 \end{cases}$$
   Второе уравнение:
   $$y^2-xy-2x^2=(y-2x)(y+x)=0.$$
   Значит,
   $$y=2x \quad \text{или} \quad y=-x.$$
   1) Если $$y=2x,$$ то
   $$2x^2+(2x)^2+5x\cdot 2x=32,$$
   $$16x^2=32,$$
   $$x^2=2,$$
   $$x=\pm \sqrt2,$$
   $$y=\pm 2\sqrt2.$$
   2) Если $$y=-x,$$ то
   $$2x^2+(-x)^2+5x(-x)=32,$$
   $$-2x^2=32,$$
   $$x^2=-16,$$
   действительных решений нет.

   $$(-\sqrt2;-2\sqrt2),\ (\sqrt2;2\sqrt2).$$

6. $$\begin{cases} x^2-2y^2+4xy=-45,\\ y^2-xy-6x^2=0 \end{cases}$$
   Второе уравнение:
   $$y^2-xy-6x^2=(y-3x)(y+2x)=0.$$
   Значит,
   $$y=3x \quad \text{или} \quad y=-2x.$$
   1) Если $$y=3x,$$ то
   $$x^2-2(3x)^2+4x\cdot 3x=-45,$$
   $$-5x^2=-45,$$
   $$x^2=9,$$
   $$x=\pm 3,$$
   $$y=\pm 9.$$
   2) Если $$y=-2x,$$ то
   $$x^2-2(-2x)^2+4x(-2x)=-45,$$
   $$-15x^2=-45,$$
   $$x^2=3,$$
   $$x=\pm \sqrt3,$$
   $$y=\mp 2\sqrt3.$$

   $$(-3;-9),\ (3;9),\ (-\sqrt3;2\sqrt3),\ (\sqrt3;-2\sqrt3).$$

7. $$\begin{cases} 27x^3-y^3=26,\\ 9x^2+3xy+y^2=13 \end{cases}$$
   Используем формулу разности кубов:
   $$27x^3-y^3=(3x-y)(9x^2+3xy+y^2).$$
   Тогда из первого уравнения:
   $$ (3x-y)(9x^2+3xy+y^2)=26.$$
   По второму уравнению
   $$9x^2+3xy+y^2=13,$$
   значит
   $$13(3x-y)=26,$$
   $$3x-y=2,$$
   $$y=3x-2.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$9x^2+3x(3x-2)+(3x-2)^2=13,$$
   $$9x^2+9x^2-6x+9x^2-12x+4=13,$$
   $$27x^2-18x-9=0,$$
   $$3x^2-2x-1=0.$$
   Тогда
   $$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot (-1)=16,$$
   $$x=\frac{2\pm 4}{6}.$$
   Получаем
   $$x=-\frac13 \quad \text{или} \quad x=1.$$
   Тогда
   $$y=3x-2,$$
   $$y=-3 \quad \text{или} \quad y=1.$$

   $$\left(-\frac13;-3\right),\ (1;1).$$

8. $$\begin{cases} x^3+8y^3=12xy,\\ x+2y=6 \end{cases}$$
   Используем формулу суммы кубов:
   $$x^3+8y^3=(x+2y)(x^2-2xy+4y^2).$$
   Тогда
   $$ (x+2y)(x^2-2xy+4y^2)=12xy.$$
   Так как $$x+2y=6,$$ получаем
   $$6(x^2-2xy+4y^2)=12xy,$$
   $$x^2-4xy+4y^2=0,$$
   $$ (x-2y)^2=0,$$
   $$x=2y.$$
   Подставим в $$x+2y=6$$:
   $$2y+2y=6,$$
   $$4y=6,$$
   $$y=\frac32,$$
   $$x=3.$$

   $$(3;\frac32).$$