Упр.593 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) x^2/(x+1)-4x/(x+2)=1-(7x+6)/(x^2+3x+2);
2) 2x^2/(x^2-x)+(3x-2)/(x^2-1)-3/(x^3-x)=2/(x-1)-2x/(x^2-1).

1) $$\frac{x^2}{x+1}-\frac{4x}{x+2}=1-\frac{7x+6}{x^2+3x+2}$$

Так как $$x^2+3x+2=(x+1)(x+2),$$ получаем

$$\frac{x^2}{x+1}-\frac{4x}{x+2}=1-\frac{7x+6}{(x+1)(x+2)}.$$

Умножим обе части на $$ (x+1)(x+2) $$:

$$x^2(x+2)-4x(x+1)=(x+1)(x+2)-(7x+6)$$
$$x^3+2x^2-4x^2-4x=x^2+3x+2-7x-6$$
$$x^3-3x^2+4=0$$
$$x^3+x^2-4x^2+4=0$$
$$x^2(x+1)-4(x+1)(x-1)=0$$
$$ (x+1)\bigl(x^2-4(x-1)\bigr)=0 $$
$$ (x+1)(x^2-4x+4)=0 $$
$$ (x+1)(x-2)^2=0 $$

Отсюда $$x=-1$$ или $$x=2.$$

Проверим область допустимых значений: $$x\neq -1,\; x\neq -2.$$

Значение $$x=-1$$ не подходит, остаётся $$x=2.$$

2) $$\frac{2x^2}{x^2-x}+\frac{3x-2}{x^2-1}-\frac{3}{x^3-x}=\frac{2}{x-1}-\frac{2x}{x^2-1}$$

Разложим знаменатели на множители:

$$x^2-x=x(x-1),\quad x^2-1=(x-1)(x+1),\quad x^3-x=x(x-1)(x+1).$$

Тогда

$$\frac{2x^2}{x(x-1)}+\frac{3x-2}{(x-1)(x+1)}-\frac{3}{x(x-1)(x+1)}=\frac{2}{x-1}-\frac{2x}{(x-1)(x+1)}.$$

Умножим обе части на $$x(x-1)(x+1)$$:

$$2x^2(x+1)+x(3x-2)-3=2x(x+1)-2x^2.$$

Приведём подобные:

$$2x^3+2x^2+3x^2-2x-3=2x^2+2x-2x^2$$
$$2x^3+5x^2-4x-3=0$$
$$2x^3-2x^2+7x^2-7x+3x-3=0$$
$$2x^2(x-1)+7x(x-1)+3(x-1)=0$$
$$ (x-1)(2x^2+7x+3)=0 $$

Отсюда

$$x-1=0 \quad \text{или} \quad 2x^2+7x+3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=7^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25,$$
$$x=\frac{-7\pm 5}{4}.$$

Получаем:

$$x_1=-3,\quad x_2=-\frac12,\quad x_3=1.$$

ОДЗ: $$x\neq 0,\; x\neq 1,\; x\neq -1.$$

Значение $$x=1$$ не подходит.

Ответ

1) $$x=2$$

2) $$x=-3,\; -\frac12$$