Упр.592 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Решить уравнение:

1. $$\frac{x+2}{x-2}-\frac{x(x-4)}{x^2-4}=\frac{x-2}{x+2}-\frac{4(3+x)}{4-x^2}$$
2. $$1+\frac{2}{x-1}-\frac{6}{x^2-1}=\frac{3}{x+1}$$
3. $$\frac{6}{4x^2-1}+\frac{3}{2x+1}=\frac{2}{2x-1}+1$$
4. $$\frac{x+1}{x-2}-\frac{x+1}{x-1}=\frac{4}{(x-1)(x-2)}-\frac{x-1}{x-2}$$

1. $$\frac{x+2}{x-2}-\frac{x(x-4)}{x^2-4}=\frac{x-2}{x+2}-\frac{4(3+x)}{4-x^2}$$
   
   Умножим обе части на $$x^2-4$$:
   $$(x+2)^2-x(x-4)=(x-2)^2+4(3+x).$$
   Раскроем скобки:
   $$x^2+4x+4-x^2+4x=x^2-4x+4+12+4x,$$
   $$8x+4=x^2+16.$$
   Получаем:
   $$x^2-8x+12=0.$$
   $$D=64-48=16,$$
   $$x_{1,2}=\frac{8\pm4}{2}.$$
   Тогда
   $$x_1=2,\quad x_2=6.$$
   Но область допустимых значений:
   $$x\neq \pm2.$$
   Значит, подходит только $$x=6$$.

2. $$1+\frac{2}{x-1}-\frac{6}{x^2-1}=\frac{3}{x+1}$$
   Умножим на $$x^2-1$$:
   $$(x^2-1)+2(x+1)-6=3(x-1).$$
   Преобразуем:
   $$x^2-1+2x+2-6=3x-3,$$
   $$x^2-x-2=0.$$
   $$D=1+8=9,$$
   $$x_{1,2}=\frac{1\pm3}{2}.$$
   Тогда
   $$x_1=-1,\quad x_2=2.$$
   ОДЗ:
   $$x\neq \pm1.$$
   Следовательно, подходит только $$x=2$$.

3. $$\frac{6}{4x^2-1}+\frac{3}{2x+1}=\frac{2}{2x-1}+1$$
   Умножим на $$4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$$:
   $$6+3(2x-1)=2(2x+1)+(4x^2-1).$$
   Получаем:
   $$6+6x-3=4x+2+4x^2-1,$$
   $$4x^2-2x-2=0,$$
   $$2x^2-x-1=0.$$
   $$D=1+8=9,$$
   $$x_{1,2}=\frac{1\pm3}{4}.$$
   Тогда
   $$x_1=-\frac12,\quad x_2=1.$$
   ОДЗ:
   $$x\neq \pm\frac12.$$
   Значит, подходит только $$x=1$$.

4. $$\frac{x+1}{x-2}-\frac{x+1}{x-1}=\frac{4}{(x-1)(x-2)}-\frac{x-1}{x-2}$$
   Умножим на $$(x-1)(x-2)$$:
   $$(x+1)(x-1)-(x+1)(x-2)=4-(x-1)^2.$$
   Раскроем скобки:
   $$x^2-1-(x^2-x-2)=4-(x^2-2x+1),$$
   $$x-1=3-x^2+2x,$$
   $$x^2-x-2=0.$$
   $$D=1+8=9,$$
   $$x_{1,2}=\frac{1\pm3}{2}.$$
   Тогда
   $$x_1=-1,\quad x_2=2.$$
   ОДЗ:
   $$x\neq 1,\quad x\neq 2.$$
   Следовательно, подходит только $$x=-1$$.

Ответ

1) $$6$$; 2) $$2$$; 3) $$1$$; 4) $$-1$$.