Упр.592 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) (x+2)/(x-2)-x(x-4)/(x^2-4)=(x-2)/(x+2)-4(3+x)/(4-x^2);
2) 1+2/(x-1)-6/(x^2-1)=3/(x+1);
3) 6/(4x^2-1)+3/(2x+1)=2/(2x-1)+1;
4) (x+1)/(x-2)-(x+1)/(x-1)=4/((x-1)(x-2))-(x-1)/(x-2).

1. $$\frac{x+2}{x-2}-\frac{x(x-4)}{x^2-4}=\frac{x-2}{x+2}-\frac{4(3+x)}{4-x^2}$$
   
   Умножим обе части на $$x^2-4$$:
   $$ (x+2)^2-x(x-4)=(x-2)^2+4(3+x). $$
   Раскроем скобки:
   $$ x^2+4x+4-x^2+4x=x^2-4x+4+12+4x, $$
   $$ 8x+4=x^2+16. $$
   Получаем:
   $$ x^2-8x+12=0. $$
   $$ D=64-48=16, $$
   $$ x_{1,2}=\frac{8\pm4}{2}. $$
   Тогда
   $$ x_1=2,\quad x_2=6. $$
   Но область допустимых значений:
   $$ x\neq \pm2. $$
   Значит, подходит только $$x=6$$.

2. $$1+\frac{2}{x-1}-\frac{6}{x^2-1}=\frac{3}{x+1}$$
   Умножим на $$x^2-1$$:
   $$ (x^2-1)+2(x+1)-6=3(x-1). $$
   Преобразуем:
   $$ x^2-1+2x+2-6=3x-3, $$
   $$ x^2-x-2=0. $$
   $$ D=1+8=9, $$
   $$ x_{1,2}=\frac{1\pm3}{2}. $$
   Тогда
   $$ x_1=-1,\quad x_2=2. $$
   ОДЗ:
   $$ x\neq \pm1. $$
   Следовательно, подходит только $$x=2$$.

3. $$\frac{6}{4x^2-1}+\frac{3}{2x+1}=\frac{2}{2x-1}+1$$
   Умножим на $$4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$$:
   $$ 6+3(2x-1)=2(2x+1)+(4x^2-1). $$
   Получаем:
   $$ 6+6x-3=4x+2+4x^2-1, $$
   $$ 4x^2-2x-2=0, $$
   $$ 2x^2-x-1=0. $$
   $$ D=1+8=9, $$
   $$ x_{1,2}=\frac{1\pm3}{4}. $$
   Тогда
   $$ x_1=-\frac12,\quad x_2=1. $$
   ОДЗ:
   $$ x\neq \pm\frac12. $$
   Значит, подходит только $$x=1$$.

4. $$\frac{x+1}{x-2}-\frac{x+1}{x-1}=\frac{4}{(x-1)(x-2)}-\frac{x-1}{x-2}$$
   Умножим на $$ (x-1)(x-2) $$:
   $$ (x+1)(x-1)-(x+1)(x-2)=4-(x-1)^2. $$
   Раскроем скобки:
   $$ x^2-1-(x^2-x-2)=4-(x^2-2x+1), $$
   $$ x-1=3-x^2+2x, $$
   $$ x^2-x-2=0. $$
   $$ D=1+8=9, $$
   $$ x_{1,2}=\frac{1\pm3}{2}. $$
   Тогда
   $$ x_1=-1,\quad x_2=2. $$
   ОДЗ:
   $$ x\neq 1,\quad x\neq 2. $$
   Следовательно, подходит только $$x=-1$$.

Ответ

1) $$6$$; 2) $$2$$; 3) $$1$$; 4) $$-1$$.