Упр.588 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) {(x-y=7, xy=18); 2) {(x-y=2, xy=15); 3) {(x+y=2, xy=-15);
4) {(x+y=-5, xy=-36); 5) {(x^2+y^2=13, xy=6); 6) {(x^2+y^2=41, xy=20).

1. $$\begin{cases} x-y=7,\\ xy=18 \end{cases}$$

   Из первого уравнения $$y=x-7$$. Подставим во второе:
   $$x(x-7)=18,$$
   $$x^2-7x-18=0.$$
   $$D=49+72=121,$$
   $$x=\frac{7\pm 11}{2}.$$
   Тогда $$x_1=-2,\; x_2=9.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y_1=-2-7=-9,\quad y_2=9-7=2.$$

   $$(-2;\,-9),\ (9;\,2)$$

2. $$\begin{cases} x-y=2,\\ xy=15 \end{cases}$$

   $$y=x-2,$$
   $$x(x-2)=15,$$
   $$x^2-2x-15=0.$$
   $$D=4+60=64,$$
   $$x=\frac{2\pm 8}{2}.$$
   Тогда $$x_1=-3,\; x_2=5.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y_1=-3-2=-5,\quad y_2=5-2=3.$$

   $$(-3;\,-5),\ (5;\,3)$$

3. $$\begin{cases} x+y=2,\\ xy=-15 \end{cases}$$

   $$y=2-x,$$
   $$x(2-x)=-15,$$
   $$x^2-2x-15=0.$$
   $$D=4+60=64,$$
   $$x=\frac{2\pm 8}{2}.$$
   Тогда $$x_1=-3,\; x_2=5.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y_1=2-(-3)=5,\quad y_2=2-5=-3.$$

   $$(-3;\,5),\ (5;\,-3)$$

4. $$\begin{cases} x+y=-5,\\ xy=-36 \end{cases}$$

   $$y=-5-x,$$
   $$x(-5-x)=-36,$$
   $$x^2+5x-36=0.$$
   $$D=25+144=169,$$
   $$x=\frac{-5\pm 13}{2}.$$
   Тогда $$x_1=-9,\; x_2=4.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y_1=-5-(-9)=4,\quad y_2=-5-4=-9.$$

   $$(-9;\,4),\ (4;\,-9)$$

5. $$\begin{cases} x^2+y^2=13,\\ xy=6 \end{cases}$$

   Из второго уравнения $$y=\dfrac{6}{x}$$, где $$x\neq 0$$. Подставим в первое:
   $$x^2+\left(\frac{6}{x}\right)^2=13.$$
   Умножим на $$x^2$$:
   $$x^4-13x^2+36=0.$$
   Пусть $$z=x^2$$. Тогда
   $$z^2-13z+36=0.$$
   $$D=169-144=25,$$
   $$z=\frac{13\pm 5}{2}.$$
   Получаем $$z_1=4,\; z_2=9$$, значит
   $$x=\pm 2,\; \pm 3.$$
   Тогда из $$xy=6$$:
   $$y=3,\ 2,\ -3,\ -2.$$

   $$(2;\,3),\ (3;\,2),\ (-2;\,-3),\ (-3;\,-2)$$

6. $$\begin{cases} x^2+y^2=41,\\ xy=20 \end{cases}$$

   Из второго уравнения $$y=\dfrac{20}{x}$$, где $$x\neq 0$$. Подставим в первое:
   $$x^2+\left(\frac{20}{x}\right)^2=41.$$
   Умножим на $$x^2$$:
   $$x^4-41x^2+400=0.$$
   Пусть $$z=x^2$$. Тогда
   $$z^2-41z+400=0.$$
   $$D=1681-1600=81,$$
   $$z=\frac{41\pm 9}{2}.$$
   Получаем $$z_1=16,\; z_2=25$$, значит
   $$x=\pm 4,\; \pm 5.$$
   Тогда из $$xy=20$$:
   $$y=5,\ 4,\ -5,\ -4.$$

   $$(-4;\,-5),\ (4;\,5),\ (-5;\,-4),\ (5;\,4)$$

Ответ

1) $$(-2;\,-9),\ (9;\,2)$$
2) $$(-3;\,-5),\ (5;\,3)$$
3) $$(-3;\,5),\ (5;\,-3)$$
4) $$(-9;\,4),\ (4;\,-9)$$
5) $$(-2;\,-3),\ (2;\,3),\ (-3;\,-2),\ (3;\,2)$$
6) $$(-4;\,-5),\ (4;\,5),\ (-5;\,-4),\ (5;\,4)$$