Упр.584 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0; 2) x^4+x^3-18x^2+x+1=0.

1) $$x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0$$

Разделим уравнение на $$x^2$$ (при $$x=0$$ левая часть не равна нулю, значит $$x\neq 0$$):

$$x^2-5x+8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}=0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)-\left(5x+\frac{5}{x}\right)+6=0$$

$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0$$

Пусть $$y=x+\frac{1}{x}$$. Тогда

$$y^2-5y+6=0$$

$$y_1=2,\quad y_2=3$$

1) Если $$x+\frac{1}{x}=2$$, то

$$x^2-2x+1=0$$

$$\left(x-1\right)^2=0$$

$$x=1$$

2) Если $$x+\frac{1}{x}=3$$, то

$$x^2-3x+1=0$$

$$D=9-4=5$$

$$x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}$$

2) $$x^4+x^3-18x^2+x+1=0$$

Разделим уравнение на $$x^2$$ (при $$x=0$$ левая часть не равна нулю, значит $$x\neq 0$$):

$$x^2+x-18+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)-20=0$$

$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(x+\frac{1}{x}\right)-20=0$$

Пусть $$y=x+\frac{1}{x}$$. Тогда

$$y^2+y-20=0$$

$$D=1+80=81$$

$$y_1=-5,\quad y_2=4$$

1) Если $$x+\frac{1}{x}=-5$$, то

$$x^2+5x+1=0$$

$$D=25-4=21$$

$$x=\frac{-5\pm\sqrt{21}}{2}$$

2) Если $$x+\frac{1}{x}=4$$, то

$$x^2-4x+1=0$$

$$D=16-4=12$$

$$x=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=2\pm\sqrt3$$

Ответ

1) $$x=1,\ \frac{3\pm\sqrt5}{2}$$

2) $$x=2\pm\sqrt3,\ \frac{-5\pm\sqrt{21}}{2}$$