Упр.571 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Упростить:

1. $$\left(\frac{a\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-1}+\sqrt{a}\right):\frac{a-1}{\sqrt{a}-1}$$
2. $$\left(\frac{1+b\sqrt{b}}{1+\sqrt{b}}-\sqrt{b}\right)\cdot\frac{1+\sqrt{b}}{1-b}$$
3. $$\left(\frac{1-a}{1-\sqrt{a}}+a\right)\cdot(1-\sqrt{a})$$
4. $$\left(m+\frac{1-m}{1+\sqrt{m}}\right)\cdot(1+\sqrt{m})$$

1. $$\left(\frac{a\sqrt a-1}{\sqrt a-1}+\sqrt a\right):\frac{a-1}{\sqrt a-1}$$

   Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
   $$\frac{a\sqrt a-1+\sqrt a(\sqrt a-1)}{\sqrt a-1}=\frac{a\sqrt a-1+a-\sqrt a}{\sqrt a-1}$$

   Тогда
   $$\frac{a\sqrt a-1+a-\sqrt a}{\sqrt a-1}\cdot\frac{\sqrt a-1}{a-1}=\frac{a\sqrt a-1+a-\sqrt a}{a-1}$$

   $$a\sqrt a-1+a-\sqrt a=(a-1)+\sqrt a(a-1)=(a-1)(\sqrt a+1)$$

   Значит,
   $$\frac{(a-1)(\sqrt a+1)}{a-1}=\sqrt a+1$$

2. $$\left(\frac{1+b\sqrt b}{1+\sqrt b}-\sqrt b\right)\cdot\frac{1+\sqrt b}{1-b}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{1+b\sqrt b-\sqrt b(1+\sqrt b)}{1+\sqrt b}\cdot\frac{1+\sqrt b}{1-b}$$

   $$1+b\sqrt b-\sqrt b-\;b=\,(1-b)-\sqrt b(1-b)=(1-b)(1-\sqrt b)$$

   Тогда
   $$\frac{(1-b)(1-\sqrt b)}{1+\sqrt b}\cdot\frac{1+\sqrt b}{1-b}=1-\sqrt b$$

3. $$\left(\frac{1-a}{1-\sqrt a}+a\right)(1-\sqrt a)$$

   Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
   $$\frac{1-a+a(1-\sqrt a)}{1-\sqrt a}\cdot(1-\sqrt a)$$

   $$1-a+a-a\sqrt a=1-a\sqrt a$$

   Следовательно,
   $$\frac{1-a\sqrt a}{1-\sqrt a}\cdot(1-\sqrt a)=1-a\sqrt a$$

4. $$\left(m+\frac{1-m}{1+\sqrt m}\right)(1+\sqrt m)$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{m(1+\sqrt m)+1-m}{1+\sqrt m}\cdot(1+\sqrt m)$$

   $$m+m\sqrt m+1-m=1+m\sqrt m$$

Ответ

1) $$\sqrt a+1$$; 2) $$1-\sqrt b$$; 3) $$1-a\sqrt a$$; 4) $$1+m\sqrt m$$.