Упр.57 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) (va-vb)/(a^(1/4)-b^(1/4))-(va+(ab)^(1/4))/(a^(1/4)+b^(1/4));
2) (1/(a^(1/4)-b^(1/4))-1/(a^(1/4)+b^(1/4)))(va-vb);
3) (a-b)/(a^(1/3)-b^(1/3))-(a+b)/(a^(1/3)+b^(1/3));
4) ((a+b)/(a^(1/3)+b^(1/3))-(ab)^(1/3)):(a^(1/3)-b^(1/3))^2.

1. $$\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac{\sqrt a+\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$$
   Так как $$\sqrt a=(\sqrt[4]{a})^2$$, $$\sqrt b=(\sqrt[4]{b})^2$$, $$\sqrt[4]{ab}=\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b}$$, то

   $$ \frac{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}} -\frac{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}} =(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})-\sqrt[4]{a}=\sqrt[4]{b}. $$

2. $$ \left(\frac1{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac1{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}\right)(\sqrt a-\sqrt b) $$
   Представим $$\sqrt a-\sqrt b$$ как разность квадратов:

   $$ \sqrt a-\sqrt b=(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}). $$

   Тогда
   $$ \left(\frac1{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac1{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}\right) (\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}) $$
   $$ =(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})-(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})=2\sqrt[4]{b}. $$

3. $$ \frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} $$
   Используем формулы:
   $$ a-b=(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}), $$
   $$ a+b=(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}). $$

   Тогда
   $$ \frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} $$
   $$ =\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right) -\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right) =2\sqrt[3]{ab}. $$

4. $$ \left(\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\sqrt[3]{ab}\right):(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2 $$
   Так как
   $$ a+b=(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}), $$
   то

   $$ \frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\sqrt[3]{ab} =\sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2} =(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2. $$

   Следовательно,
   $$ \frac{(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2}{(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2}=1. $$

Ответ

1) $$\sqrt[4]{b}$$; 2) $$2\sqrt[4]{b}$$; 3) $$2\sqrt[3]{ab}$$; 4) $$1$$.