Упр.57 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Упростить выражение:

1. $$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac{\sqrt{a}+\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$$;
2. $$\left(\frac{1}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac{1}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}\right)(\sqrt{a}-\sqrt{b})$$;
3. $$\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$$;
4. $$\left(\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\sqrt[3]{ab}\right):\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2$$.

1. $$\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac{\sqrt a+\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$$
   Так как $$\sqrt a=(\sqrt[4]{a})^2$$, $$\sqrt b=(\sqrt[4]{b})^2$$, $$\sqrt[4]{ab}=\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b}$$, то

   $$\frac{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}} -\frac{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}} =(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})-\sqrt[4]{a}=\sqrt[4]{b}.$$

2. $$\left(\frac1{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac1{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}\right)(\sqrt a-\sqrt b)$$
   Представим $$\sqrt a-\sqrt b$$ как разность квадратов:

   $$\sqrt a-\sqrt b=(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}).$$

   Тогда
   $$\left(\frac1{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac1{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}\right) (\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})$$
   $$=(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})-(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})=2\sqrt[4]{b}.$$

3. $$\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$$
   Используем формулы:
   $$a-b=(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}),$$
   $$a+b=(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}).$$

   Тогда
   $$\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$$
   $$=\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right) -\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right) =2\sqrt[3]{ab}.$$

4. $$\left(\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\sqrt[3]{ab}\right):(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2$$
   Так как
   $$a+b=(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}),$$
   то

   $$\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\sqrt[3]{ab} =\sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2} =(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2.$$

   Следовательно,
   $$\frac{(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2}{(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2}=1.$$

Ответ

1) $$\sqrt[4]{b}$$; 2) $$2\sqrt[4]{b}$$; 3) $$2\sqrt[3]{ab}$$; 4) $$1$$.