Упр.563 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Упростить выражение:

1. 1) $$\left(1-\frac{1}{a+b}\right)\left(1+\frac{1}{a+b}\right)^{-1}$$;
   2) $$\left(a-b+\frac{4ab}{a-b}\right):\left(a+b-\frac{4ab}{a+b}\right)$$;
   3) $$\left(m-\frac{2}{m+n}\right)\left(m+\frac{2}{m+n}\right)+\frac{4}{(m+n)^2}$$;
   4) $$\left(a-2b-\frac{a^2-b^2}{a+b}\right):\left(2a-b+\frac{a^2-b^2}{a-b}\right)$$.

1. $$\left(1-\frac{1}{a+b}\right)\left(1+\frac{1}{a+b}\right)^{-1}$$
   $$=\frac{a+b-1}{a+b}:\frac{a+b+1}{a+b}$$
   $$=\frac{a+b-1}{a+b+1}.$$

2. $$\left(a-b+\frac{4ab}{a-b}\right):\left(a+b-\frac{4ab}{a+b}\right)$$
   $$=\frac{(a-b)^2+4ab}{a-b}:\frac{(a+b)^2-4ab}{a+b}$$
   $$=\frac{a^2-2ab+b^2+4ab}{a-b}:\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{a+b}$$
   $$=\frac{a^2+2ab+b^2}{a-b}:\frac{a^2-2ab+b^2}{a+b}$$
   $$=\frac{(a+b)^2}{a-b}:\frac{(a-b)^2}{a+b}$$
   $$=\frac{(a+b)^2}{a-b}\cdot\frac{a+b}{(a-b)^2}$$
   $$=\frac{(a+b)^3}{(a-b)^3}.$$

3. $$\left(m-\frac{2}{m+n}\right)\left(m+\frac{2}{m+n}\right)+\frac{4}{(m+n)^2}$$
   $$=m^2-\frac{4}{(m+n)^2}+\frac{4}{(m+n)^2}$$
   $$=m^2.$$

4. $$\left(a-2b-\frac{a^2-b^2}{a+b}\right):\left(2a-b+\frac{a^2-b^2}{a-b}\right)$$
   $$=\left(a-2b-\frac{(a-b)(a+b)}{a+b}\right):\left(2a-b+\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}\right)$$
   $$=\left(a-2b-(a-b)\right):\left(2a-b+(a+b)\right)$$
   $$=\frac{-b}{3a}.$$

Ответ

1) $$\frac{a+b-1}{a+b+1}$$; 2) $$\frac{(a+b)^3}{(a-b)^3}$$; 3) $$m^2$$; 4) $$-\frac{b}{3a}$$.