Упр.56 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Доказать, что $$\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}=2$$.

Обозначим

$$x=\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^2=\left(\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}\right)^2.$$

Тогда

$$x^2=(4+2\sqrt3)-2\sqrt{(4+2\sqrt3)(4-2\sqrt3)}+(4-2\sqrt3).$$

Сложим и упростим:

$$x^2=8-2\sqrt{16-12}=8-2\sqrt4=8-4=4.$$

Значит,

$$x=2,$$

так как левая часть неотрицательна.

Ответ

$$\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}=2.$$