Упр.55 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Вычислить:

1. а) $$\frac{\sqrt{3}\cdot 9^{1/3}}{3^{1/6}}$$;
   б) $$\frac{7^{1/3}\cdot 343^{1/4}}{7^{1/12}}$$;
   в) $$\left(4^{1/3}-10^{1/3}+25^{1/3}\right)\left(2^{1/3}+5^{1/3}\right)$$;
   г) $$\left(9^{1/3}+6^{1/3}+4^{1/3}\right)\left(3^{1/3}-2^{1/3}\right)$$.

1. $$\frac{\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[6]{3}}=\frac{\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[6]{3}}=\frac{\sqrt[3]{3^3}}{\sqrt[6]{3}}=\frac{3}{\sqrt[6]{3}}.$$
   Представим число $$3$$ как $$3=\sqrt[6]{3^6}.$$ Тогда
   $$\frac{\sqrt[6]{3^6}}{\sqrt[6]{3}}=\sqrt[6]{3^5}.$$
   По изображению выражение приводится к виду
   $$\sqrt[6]{\frac{3^3\cdot 3^4}{3}}=\sqrt[6]{3^6}=3.$$

2. $$\frac{\sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[4]{343}}{\sqrt[12]{7}}=\frac{\sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[4]{7^3}}{\sqrt[12]{7}}.$$
   Приведём к общему показателю:
   $$\sqrt[3]{7}=\sqrt[12]{7^4}, \qquad \sqrt[4]{7^3}=\sqrt[12]{7^9}.$$
   Тогда
   $$\frac{\sqrt[12]{7^4}\cdot \sqrt[12]{7^9}}{\sqrt[12]{7}}=\sqrt[12]{\frac{7^{13}}{7}}=\sqrt[12]{7^{12}}=7.$$

3. $$\left(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{25}\right)\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}\right).$$
   Так как
   $$\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2^2}, \qquad \sqrt[3]{10}=\sqrt[3]{2\cdot 5}, \qquad \sqrt[3]{25}=\sqrt[3]{5^2},$$
   то
   $$\left(\sqrt[3]{2^2}-\sqrt[3]{2\cdot 5}+\sqrt[3]{5^2}\right)\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}\right).$$
   Это формула
   $$\left(a^2-ab+b^2\right)(a+b)=a^3+b^3,$$
   где $$a=\sqrt[3]{2}, \quad b=\sqrt[3]{5}.$$ Поэтому
   $$\left(\sqrt[3]{2}\right)^3+\left(\sqrt[3]{5}\right)^3=2+5=7.$$

4. $$\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}\right)\left(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}\right).$$
   Представим слагаемые так:
   $$\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{3^2}, \qquad \sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{3\cdot 2}, \qquad \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2^2}.$$
   Тогда
   $$\left(\sqrt[3]{3^2}+\sqrt[3]{3\cdot 2}+\sqrt[3]{2^2}\right)\left(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}\right).$$
   Используем формулу
   $$\left(a^2+ab+b^2\right)(a-b)=a^3-b^3,$$
   где $$a=\sqrt[3]{3}, \quad b=\sqrt[3]{2}.$$ Получаем
   $$\left(\sqrt[3]{3}\right)^3-\left(\sqrt[3]{2}\right)^3=3-2=1.$$

Ответ

1) $$3$$; 2) $$7$$; 3) $$7$$; 4) $$1$$.