Упр.548 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Вычислить:

1. $$(\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}})^2$$;
2. $$(\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}})^2$$;
3. $$\frac{1}{5-\sqrt{5}}-\frac{1}{5+\sqrt{5}}$$;
4. $$\frac{1}{7+4\sqrt{3}}+\frac{1}{7-4\sqrt{3}}$$.

1. $$\left(\sqrt{4+\sqrt7}+\sqrt{4-\sqrt7}\right)^2$$

   Используем формулу квадрата суммы:
   $$a^2+2ab+b^2$$
   где $$a=\sqrt{4+\sqrt7}$$, $$b=\sqrt{4-\sqrt7}$$.

   $$\left(\sqrt{4+\sqrt7}+\sqrt{4-\sqrt7}\right)^2=(4+\sqrt7)+2\sqrt{(4+\sqrt7)(4-\sqrt7)}+(4-\sqrt7)$$

   $$=8+2\sqrt{16-7}=8+2\sqrt9=8+2\cdot 3=14$$

2. $$\left(\sqrt{3-\sqrt5}-\sqrt{3+\sqrt5}\right)^2$$

   Используем формулу квадрата разности:
   $$a^2-2ab+b^2$$
   где $$a=\sqrt{3-\sqrt5}$$, $$b=\sqrt{3+\sqrt5}$$.

   $$\left(\sqrt{3-\sqrt5}-\sqrt{3+\sqrt5}\right)^2=(3-\sqrt5)-2\sqrt{(3-\sqrt5)(3+\sqrt5)}+(3+\sqrt5)$$

   $$=6-2\sqrt{9-5}=6-2\sqrt4=6-2\cdot 2=2$$

3. $$\frac1{5-\sqrt5}-\frac1{5+\sqrt5}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac1{5-\sqrt5}-\frac1{5+\sqrt5}=\frac{(5+\sqrt5)-(5-\sqrt5)}{(5-\sqrt5)(5+\sqrt5)}$$

   $$=\frac{2\sqrt5}{25-5}=\frac{2\sqrt5}{20}=\frac{\sqrt5}{10}$$

4. $$\frac1{7+4\sqrt3}+\frac1{7-4\sqrt3}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac1{7+4\sqrt3}+\frac1{7-4\sqrt3}=\frac{(7-4\sqrt3)+(7+4\sqrt3)}{(7+4\sqrt3)(7-4\sqrt3)}$$

   $$=\frac{14}{49-(4\sqrt3)^2}=\frac{14}{49-48}=14$$

Ответ

1) $$14$$; 2) $$2$$; 3) $$\frac{\sqrt5}{10}$$; 4) $$14$$.