Упр.540 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Упростить выражение: 1) $$\frac{4}{a-b}+\frac{9}{a+b}-\frac{8a}{a^2-b^2}$$; 2) $$\frac{42}{4a^2-9}+\frac{8}{2a+3}+\frac{7}{3-2a}$$; 3) $$\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)ab$$; 4) $$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{ab}\right)ab$$.

1. $$\frac{4}{a-b}+\frac{9}{a+b}-\frac{8a}{a^2-b^2}$$
   
   Приведём к общему знаменателю $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$:
   $$\frac{4(a+b)+9(a-b)-8a}{(a-b)(a+b)}$$
   $$\frac{4a+4b+9a-9b-8a}{a^2-b^2}=\frac{5a-5b}{a^2-b^2}$$
   $$\frac{5(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{5}{a+b}$$

2. $$\frac{42}{4a^2-9}+\frac{8}{2a+3}+\frac{7}{3-2a}$$
   
   Заметим, что $$4a^2-9=(2a-3)(2a+3)$$, а также $$3-2a=-(2a-3)$$. Тогда
   $$\frac{42}{(2a-3)(2a+3)}+\frac{8(2a-3)}{(2a-3)(2a+3)}-\frac{7(2a+3)}{(2a-3)(2a+3)}$$
   $$\frac{42+8(2a-3)-7(2a+3)}{(2a-3)(2a+3)}$$
   $$\frac{42+16a-24-14a-21}{(2a-3)(2a+3)}=\frac{2a-3}{(2a-3)(2a+3)}$$
   $$\frac{1}{2a+3}$$

3. $$\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)ab$$
   
   Раскроем скобки:
   $$\frac{a}{b}\cdot ab+\frac{b}{a}\cdot ab-2ab$$
   $$a^2+b^2-2ab$$
   $$\left(a-b\right)^2$$

4. $$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{ab}\right)ab$$
   
   Раскроем скобки:
   $$\frac{1}{a}\cdot ab+\frac{1}{b}\cdot ab-\frac{1}{ab}\cdot ab$$
   $$b+a-1$$

Ответ

1) $$\frac{5}{a+b}$$; 2) $$\frac{1}{2a+3}$$; 3) $$\left(a-b\right)^2$$; 4) $$a+b-1$$.